Almost periodic transformations. (Q2617412)

Es wird eine Theorie der ``fastperiodischen Transformationen'' entwickelt, die nicht bloß\ die Theorie der fastperiodischen Funktionen und Folgen als sehr spezielle Unterfälle umfaßt, sondern zugleich auch in interessanter Weise den Begriff der zyklischen Untergruppen von Transformationsgruppen erweitert. Verf. beginnt mit einem Beispiel: Es sei \(\mathfrak T\) ein System von gleichmäßig stetigen Transformationen, die jeden Punkt eines vollständigen metrischen Raumes \(\mathfrak C\) in einen Punkt von \(\mathfrak C\) überführen. \(\mathfrak T\) möge die Identität \(E\) und das Produkt je zweier seiner Elemente enthalten. Wenn dann \(\xi \) ein beliebiger Punkt von \(\mathfrak C\) ist und \(\varPhi (\xi )\) und \(\varPsi (\xi )\) zwei Elemente von \(\mathfrak T\) sind, so möge die kleinere der Zahlen 1 und die obere Grenze der Entfernungen der Punkte \(\varPhi (\xi )\) und \(\varPsi (\xi )\) für alle \(\xi \) aus \(\mathfrak C\) die ``Entfernung'' der Transformationen \(\varPhi \) und \(\varPsi \) genannt und mit \(\|\varPhi,\varPsi \|\) bezeichnet werden. Eine Transformation \(\varPhi \) heißt dann ``fastperiodisch'', wenn es zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(L\) gibt so, daß\ unter je \(L\) konsekutiven natürlichen Zahlen ein \(N\) vorhanden ist, für das \(\|\varPhi ^N,E\|\leqq \varepsilon \) erfüllt ist. - Für di allgemeine Definition von fastperiodischen Transformationen werden die Transformationen als Punkte eines neuen Raumes aufgefaßt. Als \(\mathcal T\)-Raum wird ein solcher bezeichnet, der folgenden Postualaten genügt: (a) \(\mathcal T\) ist vollständig und metrisch (\(\|\varPhi,\varPsi \|\) bezeichne die Entfernung von \(\varPhi \) nach \(\varPsi \)); (b) Eine Multiplikation ist so definiert, daß\ jedem geordneten Paar \(\varPhi,\varPsi \) genau ein Punkt \(\varPhi \varPsi \) entspricht; die Multiplikation ist assoziativ, und der Raum enthälten den Einheitspunkt \(E\); (c) \(\|\varPhi \varTheta,\varPsi \varTheta \|\leqq \|\varPhi,\varPsi \|\) für je drei Punkte \(\varPhi,\varPsi,\varTheta \); (d) Das Produkt \(\varTheta \varPsi \) ist bei jedem festen \(\varTheta \) eine gleichmäßig stetige Funktion von \(\varPsi \). Eine natürliche Zahl \(N\), für die \(\|\varPhi ^N,E\|\leqq \varepsilon \) erfüllt ist, wird ``\(\varepsilon \)-Iterationsexponent'' gennant. Schließlich wird ein Punkt \(\varPsi \) von \(\mathcal T\) als ``fastperiodisch'' bezeichnet, wenn es zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(L\) gibt, so daß\ unter je \(L\) konsekutiven natürlichen Zahlen ein \(\varepsilon \)-Iterationsexponent vorhanden ist.