Zu einem Satze von Hazzidakis über gewisse Systeme linearer Differentialgleichungen. (Q2617453)

Es handelt sich um den Satz: Hat das System \[ \frac {dx_\nu }{dt}+\sum \limits _{\mu =1}^na_{\nu \mu }(t) x_\mu =0\quad (\nu =1,2,\dotsc,n)\leqno (1) \] die \(n\) unabhängigen Lösungen \[ x_\nu =x_{\nu \lambda }\quad (\lambda =1,2,\dotsc,n), \] so hat das System \[ \frac {dz_\nu }{dt}-\sum \limits _{\mu =1}^na_{\mu \nu }(t)z_\mu +\sum \limits _{\varkappa =1}^na_{\varkappa \varkappa }(t) z_\nu =0\quad (\nu =1,2,\dotsc,n)\leqno (2) \] die \(n\) unabhängigen Lösungen \[ z_\nu =z_{\nu \lambda }\quad (\lambda =1,2,\dotsc,n), \] wobei \(z_{\nu \lambda }\) der \(x_{\nu \lambda }\) gehörige Minor der Determinante \[ \left |\begin{matrix} x_{11}&x_{12}&\hdots &x_{1n}\\\hdotsfor 4\\\hdotsfor 4\\x_{n1}&x_{n2}&\hdots &x_{nn}\end{matrix} \right | \] ist. Der Beweis ergibt sich einfach, indem man (1) mit \(z_\nu \) und (2) mit \(x_\nu \) multipliziert und dann nach \(\nu \) summiert.