Die Stabilitätsfrage bei Differenzengleichungen. (Q2617484)

Verf. untersucht das Verhalten der Integrale des Systems von Differenzengleichungen \[ x_\nu (t+1)=\sum \limits _{\mu =1}^nf_{\nu \mu }(t)x_\mu (t)+\varphi _\nu (t,x_1(t),\dotsc,x_n(t))\quad (\nu =1,\dotsc,n)\leqno (\text I) \] für \(t\rightarrow \infty \). Dabei wird \(t\) auf die Werte \(0,1,2,\dotsc \) beschränkt, und die \(f_{\nu \mu },\varphi _\nu \) sollen beschränkte Funktionen sein. Zunächst wird an einem Beispiel gezeigt, daß\, auch wenn die \(\varphi _\nu \) für \(x_\mu \rightarrow 0\) von höherer Ordnung klein werden, die Mannigfaltigkeit der für \(t\rightarrow \infty \) beschränkt bleibenden oder nach 0 strebenden Integrale doch nicht dieselbe zu sein braucht wie im Fall \(\varphi _\nu =0\). Die Frage, unter welcher Bedingung für die \(f_{\nu \mu }(t)\) dieser unerwünschte Umstand nicht auftreten kann, wird zunächst für das spezielle System \[ y_\nu (t+1)=\sum \limits _{\mu =1}^\nu g_{\nu \mu }(t)y_\mu (t)+\chi _\nu (t,y_1(t),\dotsc,y_n(t))\quad (\nu =1,\dotsc,n)\leqno (\text{II}) \] geprüft (\(g_{\nu \mu },\chi _\nu \) beschränkt; \(g_{\nu \mu }=0\) für \(\mu >\nu \)). Dabei ergibt sich unter anderem der Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ das System (II) bei jeder beliebigen Wahl der beschränkte Funktionen \(\chi _\nu \) nur beschränkte Integrale hat, besteht darin, daß\ die Funktionen \[ \sum \limits _{\tau =0}^{t-1}\prod \limits _{\varrho =\tau +1}^{t-1}|g_{\nu \nu }(\varrho )|\quad (\nu =1,\dots,n) \] beschränkt sind. Etwas komplizierter ist die Bedingung dafür, daß\ wenigstens ein beschränktes Integral oder dafür, daß\ eine genau \(k\)-parametrige Schar beschränkter Integrale vorhanden ist. Bei dem allgemeinen System (I) lassen sich die entsprechenden Fragen entscheiden, indem man es durch eine Transformatinon der Form \[ x_\nu (t)=\sum \limits _{\mu =1}^nq_{\nu \mu }(t)y_\mu (t) \] in die Gestalt (II) überführt. Wesentlich bei dieser Transformation ist, daß\ die Matrix \((q_{\nu \mu }(t))\) und ihre Reziproke beide beschränkt sind, und daß\ auch die bei der Transformation entstehenden Funktionen \(g_{\nu \mu }(t)\) beschränkt ausfallen. Es wird gezeigt, daß\ sich die \(q_{\mu \nu }(t)\) stets in dieser Weise wählen lassen.