Separable systems of Stäckel. (Q2617510)

\textit{Stäckel} (1891; F. d. M. 23, 402 (JFM 23.0402.*)) und \textit{Robertson} (1928; F. d. M. 54, 963 (JFM 54.0963.*)) haben für den Fall, daß\ die \textit{Lagrange}schen Koordinaten \(q_1,\dotsc,q_n\) eines mechanischen Systems (bzw. eines Systems von Atomen und Elektronen) orthogonale Koordinaten sind (also das Bogenelement die Form \(ds^2=\sum H_i^2\cdot dq_i^2\) hat) und das Energieintegral gilt, notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, denen sie Koeffizienten \(H_i^2\) sowie die potentielle Energie des Systems genügen müssen, damit die zugehörige \textit{Hamilton-Jacobi}sche (\textit{Stäckel}) bzw. \textit{Schrödinger}sche (\textit{Robertson}) Differentialgleichung durch Separation der Variabeln integriert werden kann; dabei ergab sich, daß\ die Bedingungen für die \textit{Schrödinger}sche Gleichung nur bis auf eine neu hinzutrende Zusatzbedingung mit jenen für die \textit{Hamilton}sche Gleichung identisch sind. In der vorliegenden Arbeit werden diese Bedingungen als mit einfachen Eigenschaften des \textit{Riemann}schen \(V_n\) mit der metrischen Fundamentalform \(ds^2=\sum H_i^2\cdot dq_i^2\) äquivalent erkannt: Die \textit{Stäckel}schen Bedingungen bringen die Tatsache zum Ausdruck, daß\ die Differentialgleichungen der geodätischen Linien des \(V_n\) außer der Fundamentalform noch \(n-1\) weitere unabhängige quadratische erste Integrale besitzen (ein Teil dieser Behauptung wurde bereits von \textit{Stäckel} bewiesen), während die \textit{Roberton}sche Zusatzbedingung das Verschwinden des verjüngten einfach kontravarianten Krümmungstensor \(R_{ij}=R_{i\alpha j}^\alpha \) dieses Raumes bedeutet. Anschließend daran werden für den euklidischen dreidimensionalen Fall sämtliche Orthogonalkoordinatensysteme explicite aufgestellt, in denen die \textit{Schrödinger}sche Gleichung durch Separation integrabel ist (es zeigt sich, daß\^^Mdies ausschließlich dreifach orhogonale Scharen konfokaler Oberflächen zweiter Ordnung sind) und die zugehörigen kanonischen Formen der \textit{Stäckel}schen Matrizen angegeben. Ferner wird noch auf die Geltung ähnlicher Aussagen für den euklidischen Raum höherer Ordnung hingewiesen, und es werden schließlich die \textit{Stäckel}schen Systeme für den dreidimensionalen \textit{Riemann}schen Raum konstanter Krümmung aufgestellt.