Sulle soluzioni stazionarie dei sistemi pfaffiani. I: Generalità e richiami. (Q2617520)

Verf. betrachet System \[ \frac {dx^0}{X^0}=\frac {dx^1}{X^1}=\dotsb =\frac {dx^{2n}}{X^{2n}}.\leqno (*) \] Eine Funktion \(f(x^0,x^1,\dotsc,x^{2n})\) ist Integral des Systems (*), wenn \(\sum \limits _{i=0}^{2n}X^i\frac {\partial f} {\partial x^i}=0\). Für stationäre Punkte der Mannigfaltigkeit \(f=\) const verschwindet nach Definition \(df\) identisch in den \(dx^i\); diese Punkte sind demnach durch \[ \frac {\partial f}{\partial x^i}=0\leqno (**) \] definiert. Dann sind die Fälle, wo (**) nur \(2n\) oder noch weniger unabhängige Beziehungen für \(n+1\) Variable darstellt, von besonderem Interesse. Jede so definierte Kurve \(\sigma \) ist eine spezielle Lösung von (*); jede solche Mannigfaltigkeit \(\tau \) ist invariant mit (*) verknüpft, derart daß, wenn man von einem beliebigen ihrer Punkte \(P\) ausgeht, jede Verrückung \(dx^i\), die (*) befriedigt, zu \(\tau \) gehört. Kennt man außer dem Integral \(f=\) const noch eine Reihe von mit (*) invariant verbundenen Relationen \[ f_r=0\quad (r=1,2,\dotsc,m), \] die im Raum \(S\) eine Mannigfaltigkeit \(\varSigma \) von \(2n+1-m\) Dimensionen definieren, so gilt auf \(\varSigma \): \[ \sum \limits _{i=0}^{2n}X^i\frac {\partial f_r}{\partial x^i}=0\quad (r=1,2,\dotsc,m). \] Dann kann man wiederum auf \(\varSigma \) stationäre Integrale \(f\) benutzen, wobei man mit Hilfe von \(m\) \textit{Lagrange}schen Multiplikatoren \(\lambda _r\) nunmehr den Ausdrück \[ F=f+\sum \limits _{r=1}^m\lambda _rf_r \] zu untersuchen hat.