Über eine Transformation von Variations- und Randwertproblemen. (Q2617545)

In Verallgemeinerung von Sätze über die Existenz von Lösungen für die nichtlineare Randwertaufgabe für \[ \varDelta u=f(x,y,u) \] beweist Verf. folgenden Satz: \(B\) sei ein von stückweise analytischen Randkurven \(x(s), y(s)\) begrenzter Bereich der \((x,y)\)-Ebene. Auf seinem Rande seien die Werte \(\varPhi (s)\) derart vorgegeben, daß\ die zu \[ \varPhi (s)\text{ und }\varPsi (s)=\int \limits _0^{\varPhi (s)}\sqrt {\varphi (x(s),y(s),\omega )}d\omega \] gehörigen regulären Potentialfunktionen im abgeschlossenen Bereich \(B\) stetige erste Ableitungen besitzen. Dabei bedeute \(\varphi (x,y,u)\) eine für \(x,y\) in \(B\) und alle \(u\) nebst \(\frac {\partial \varphi }{\partial u}\) dreimal stetig differenzierbare Funktion, für die \(\varphi (x,y,u)>0\) gilt. \(f(x,y,u)\) sei eine für \(x,y\) in \(B\) und alle \(u\) diferenzierbare Funktion, die folgenden Bedingungen genügt: Setzt man \(\varPhi _1=\text{Min }\varPhi (s),\varPhi _2=\text{Max }\varPhi (s)\) auf dem Rande von \(B\), so gebe es zwei Konstante \(u_1<0\) und \(u_2>0\), so daß\^^M \[ f(x,y,u_1+\varPhi _1)<0\text{ und }f(x,y,u_2+\varPhi _2)>0\leqno (1) \] für alle \(x,y\) in \(B\) ist. Dann gibt es in \(B\) eine Lösung \(u(x,y)\) der Gleichung \[ \varphi (x,y,u)\varDelta u=-\frac 12\varphi _u(u_x^2+u_y^2)-\varphi _xu_x-\varphi _yu_y+ f(x,y,u),\leqno (2) \] welche auf dem Rande die Werte \(\varPhi (s)\) annimmt. Die Bedingung (1) kann auch durch \[ \begin{cases} \r \\f(x,y,u_1+\varPhi _1)=0\\f_n(x,y,u_1+\varPhi _1)=0\end{cases},\text{ und }\begin{cases} \r \\f(x,y,u_2+\varPhi _2)=0\\f_n(x,y,u_2+\varPhi _2)=0\end{cases} \] ersetzt werden. Für die Lösung gilt \[ u_1+\varPhi _1\leqq u(x,y)\leqq u_2+\varPhi _2. \] Der Beweis beruht auf folgendem Gedanken: Die Differentialgleichung (2) ist die \textit{Euler}sche Differentialgleichung zu der Variationsaufgabe \[ \iint \limits _B[\varphi (x,y,u)(u_x^2+u_y^2)+2F(x,y,u)]dxdy=\text{Min} \] mit \(F(x,y,u)=\int \limits _0^uf(x,y,\omega )d\omega \). Die kann, wenn \(\varphi \geqq \eta >0\) ist, durch geeignete Transformationen auf \[ \iint \limits _B[u_x^2+u_y^2+2F(x,y,u)]dxdy=\text{Min} \] bei den Randwerten 0 zurückgeführt werden. Die neue Aufgabe ist, wie bekannt, unter gewissen Beschränktheitsbedingungen für \(f\) lösbar. Unter den Annahmen des zu beweisenden Satzes kann nun \(f\) sowie \(\varphi \) durch Funktionen \(f^*\) und \(\varphi ^*\) derart ersetzt werden, daß\ \(f^*\) und \(\varphi ^*\) den Beschränktheitsbedingungen genügen und im Intervall \(u_1+\varPhi _1\leqq u\leqq u_2+\varPhi _2\) mit \(f\) bzw. \(\varphi \) übereinstimmen. Der Satz folgt dann daraus, daß\ für die Lösung \(u^*\) der mit \(f^*\) und \(\varphi ^*\) gebildeten Aufgabe ebenfalls \[ u_1+\varPhi _1\leqq u^*(x,y)\leqq x_2+\varPhi _2 \] gilt. Endlich wird noch gefolgert, daß, falls f(x, y, u) = 0, eine Lösung von (2) im Inneren von \(F\) kein eigentliches Maximum und Minimum annehmen kann.