Direkte Methoden der Variationsrechnung zur Lösung von Randwertproblemen. (Q2617618)

Verf. untersucht die Voraussetzungen für Integranden, für welche die \textit{Euler}sche Methode der Variationsrechnung zum Existenzbeweis einer Lösung führt. Die Methode ist, am einfachsten Fall auseinandergesetzt, folgende: Die Aufgabe, das Integral \[ \int \limits _0^aF(x,y(x),y'(x))dx\tag{1} \] durch eine mit stetiger Ableitung \(y'(x)\) versehene Funktion \(y(x)\) zum Minimum zu machen, wird wie folgt approximiert: Man teile \(0,a\) durch \(2^m\) Teilpunkte \(x_i\) und bestimme \(y_i\) so, daß\^^M \[ \sum \limits _{i=1}^{2m}F\left (x_i, y_i, \frac {(y_{i+1}-y_i)2^m}{a}\right )\dot \frac {a}{2^m}\tag{2} \] einen kleinsten Wert annimmt. Über \(F\) werden zunächst solche einschränkenden Annahmen gemacht, die nach sich ziehen, daß\ (2) zugleich mit dem absolut \(y_i\) über alle Grenzen wächst. Infolgedessen gibt es in einem beschränkten Gebiet des \(y_i\)-Raumes ein Wertsystem, welches (2) ein absolutes Minimum erteilt. Die notwendigen Minimumsbedingungen führen auf ein System von Gleichungen der Variationsrechnung renzenmäßige Analogen zur \textit{Euler}schen Differentialgleichung der Variationsrechnung folgt. Es werden nun über \(F\) weitere solche Polygone und ihre ersten und zweiten Differenzenquotienten von \(m\) unabhängig Schranken ergeben. Dann liefern diese Polygone eine konvergente Minimalfolge. Für das Integral (1), sowohl bei der Randbedingung \(y(0)=0, y(a)=0\) also auch bei der einseitigen Randbedingung \(y(0)=0\), genügen beispielsweise folgende Voraussetzungen: \(F(x,y,y')\) besitzt stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung für \(0\leq x\leq a\) und alle \(y,y'\). Es ist \[ F(x,y,y')\geq -N\qquad (N>0). \] Es gibt Konstante \(M>0\) und \(\alpha >0\) und einen für alle \(y\) erklärte Funktion \(\varphi (y)\), so daß\ gilt \[ \varphi (y)>0, \qquad \lim _{|y|\rightarrow \infty }|y|^{\alpha }\cdot \varphi (y)=\infty, \qquad F(x,y,y')\geq |y'|^{\alpha }\varphi (y) \] für \(0\leq x\leq a\), alle \(y\) und \(|y'|\geq M\). Daraus folgt die Existenz eines \(\varrho >0\), so daß\ für jedes Wertesystem \(y_i\) mit \(y_i=0\) und mindestens einem \(|y_i|\geq \varrho \) gilt \[ \sum \limits _{i=1}^{2^m}\frac {a}{2^m}F\left (x_i, y_i, \frac {(y_{i+1}-y_i)2^m}{a}\right )>\sum \limits _0^aF(x,0,0)dx+1. \] Mit diesem \(\varrho \) gelte ferner: Es gibt ein \(\varepsilon \), so daß\ für \(0\geq x\geq a, |y|\leq \varrho \) und alle \(y'\) \[ F_{y'y'}(x,y,y')\geq \varepsilon \] wird. Es gibt ein \(M_1>0\) und \(C>0\). so daß\ für \(0\leq x\leq a, |y|\leq \varrho, M_1\leq |y'|\) die Ungleichung \[ F(x,y,y')\geq C|F_{y}(x,y,y')| \] besteht. Diese Annahmen lassen sich in verschiedener Weise abändern. Auch für mehrere gesuchte Funktionen und das Problem \(n\)-ter Ordnung ist die Methode anwendbar und führt zu ähnlichen neuen Sätzen. Für die etwas undurchsichtigen Voraussetzungen werden Beispiele z.T. aus den Anwendungen gegeben.