Généralisation de l'espace différentiel de N. Wiener. (Q2617653)

Gegeben sei ein Intervall \(0\leqq t\leqq T\), in diesem Intervall eine überall dichte und abzählbare Menge \(M\) und (nach Verf: eine Funktion; gemeint ist wohl: eine Menge oder) eine Folge von Funktionen \(x(t)\). Die Funktion \(x(t)\) soll für \(t=0\) verschwinden und sukzessive für die Punkte von \(M\) definiert werden; dabei sollen die erhaltenen Funktionen mit einer Wahrscheinlichkeit 1 fast überall stetig sein; dafür, daß\ der einem Teilintervall \(\varDelta t\) von \(\langle 0,T\rangle \) entsprechende Zuwachs \(\varDelta x\) von \(x(t)\) zwischen gegebenen Grenzen liegt, soll eine gewisse Wahrscheinlichkeit bestehen, die ``unabhängig'' ist von den Werten von \(x(t)\) in vorangehenden \(t\)-Intervallen. Diese ``aleatorischen'' Funktionen \(x(t)\) (vgl. dazu \textit{B. de Finetti}, 1929; JFM 55.0911.*) bilden einen Funktionenraum \(V\), der speziell als \(W\) bezeichnet wird, wenn das Wahrscheinlichkeitsgesetz für \(\varDelta x\) nur von der Länge des Intervalls \(\varDelta t\) abhängt. Verf. hat diese Funktionenräume untersucht und gibt folgendes bekannt: I. Ist \(x(t)\) mit einer Wahrscheinlichkeit 1 sogar überall stetig, so kann durch Subtraktion einer passenden Funktion und Änderung der Zeitskala \(t\) der Funktionenraum in den Differentialraum \(W_2\) von \textit{N. Wiener} übergeführt werden, bei dem das Wahrscheinlichkeitsgesetz für \(\varDelta x\) das \textit{Gauß}sche ist. II. Hat die Summe der absoluten Beträge der Sprünge mit der Wahrscheilnlichkeit 1 einen endlichen Wert, so kann man durch Subtraktion einer Funktion des Typus I, ferner einer Funktion, die ihren Wert nur an fest gegebenen Stellen ändert, und schließlich durch eine Änderung der Zeitskala \(t\) erreichen, daß\ die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Werte der Sprungzahlen dem \textit{Poisson}schen Gesetz genügt. Der Raum \(V\) ist bestimmt, wenn für jeden Wert von \(t\) das Wahrscheinlichkeitsgesetz gegeben ist, von dem die Größe des Sprunges abhängt. Beispiele: Das \textit{Gauß}sche Gesetz, ein asymptotisches \textit{Gauß}sches Gesetz des Münzwurfes. III. Ist im allgemeinen Falle \(dN(k,t)\) für das Intervall \(\langle 0,t\rangle \) die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Sprünge, deren Größe zwischen \(h\) und \(h+dh\) liegt, so ist dieses Differential eine mit \(t\) monoton wachsende Funktion \(\geqq 0\). Wird diese für \(t=T\) speziell mit \(dN(k)\) bezeichnet, so ist das Integral über \(h^2dN(h)\) in jedem endlichen Intervall vorhanden, das über \(|h|dN(h)\) zwischen \(-1\) und \(+1\) kann konvergieren oder auch nicht (Konvergenz usw. heißt immer: mit Wahrscheinlichkeit 1). Im Falle der Konvergenz läßt sich eine Funktion vom Typus I und eine Funktion, die sich nur in fest gegebenen Punkten ändert, so subtrahieren, daß\ die reduzierte Funktion ``sich nur in Punkten ändert, die vom Zufall abhängen''. Es folgen Bemerkungen für den Fall \(dN(h,t)=ct|d(h^{-\alpha })|\) mit \(0<\alpha <1\), über den Fall der Divergenz und über den Fall, daß\ \(x(t)\) eine \textit{Hölder}sche Bedingung \(|x(t+\tau )-x(\tau )|<\varphi (t)\) erfüllt. In der zweiten und dritten Note werden diese Angaben ergänzt und z. T. berichtigt. Z. B. wird in der zweiten Note für die reduzierte Funktion die charakteristische Funktion \(\varPhi (z,t)=E\{e^{iz}\}\) vermittels \[ \log \varPhi (z,t)=\lim _{u',u''\rightarrow 0} \left ({ \int \limits ^{u''}_{-\infty }}+{ \int \limits ^\infty _{u'}}\right ) (e^{iuz}-1)d_uN(u,t) \] bestimmt und diese Formel in der dritten Note ausgewechselt durch \[ \log \varPhi (z,t)={ \int \limits ^{+\infty }_{-\infty }}[e^{izu}-1-izw(u,t)]d_uN(u,t). \]