Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. (Q2617662)

Ein stochastischer Prozeß\ wird in naheliegender Weise ``stationär'' genannt, wenn die Verteilungsgesetze der beiden Variablengruppen \[ (x_{t_1},x_{t_2},\dots,x_{t_n})\quad \text{und}\quad (x_{t_1+u},x_{t_2+u},\dots,x_{t_n+u}) \] bei beliebigem \(n\) und \(u\) identisch ausfallen. Da in der vorliegenden Arbeit nur Momente erster und zweiter Ordnung der zufälligen Variablen eine Rolle spielen, genügt die folgende Voraussetzung der ``Stabilität in weiterem Sinne''. Erwartungswert und Streuung von \(x_t\) sollen von \(t\) unabhängig sein, und der Korrelationskoeffizient von \(x_t\) und \(x_u\) soll von \(|t-u|\) allein abhängen: \(E(x_ux_v)=R(u-v)\) mit gerader Funktion \(R(t)\). Ein stationärer Prozeß\ heißt stetig, wenn \(R(+0)=1\) ist, was die Stetigkeit von \(R(t)\) nach sich zieht. Es wird dabei übrigens stets zur Vereinfachung der Schreibweise \(E(x_t)=0, E(x^2_t)=1\) vorausgesetzt. - Zwei stochastische Prozesse mit den zufälligen Variablen \(x_t\) bzw. \(y_t\) heißen ``in stationärer Weise abhängig'', wenn \[ { \frac 12}\{E(x_ty_{t'})+E(x_{t'}y_t)\}=\varrho (t'-t), \] d. h. eine Funktion von \(|t'-t|\) allein ist (\(\varrho \) gerade). \(\varrho (t)\) heißt die gegenseitige Korrelationsfunktion. Sind \(R_1(t)\), \(R_2(t)\) und \(R(t)\) die Korrelationsfunktionen der Prozesse mit den Variablen \(x_t\) bzw. \(y_t\) bzw. \(x_t+y_t\), so folgt \[ \varrho (t)=[1+\varrho (0)]R(t)-{ \frac 12}[R_1(t)+R_2(t)]. \] Aus der Stetigkeit von \(R_1(t)\) und \(R_2(t)\) folgt die von \(\varrho (t)\). Satz 1. Dafür, daß\ \(R(t)\) Korrelationsfunktion eines stetigen stationären Prozesses ist, ist notwendig und hinreichend, daß\ \(R(t)\) als \(\int \limits ^{+\infty }_{-\infty }\cos tx\;dF(x)\) darstellbar ist, wo \(F(x)\) eine gewisse Verteilungsfunktion bedeutet. Satz 2. \(\varrho (t)\) (und damit auch \(R(t)\)) besitzt einen bestimmten Mittelwert \[ \lim _{T\rightarrow \infty }\frac 1T\int \limits ^T_0\varrho (t)dt. \] Satz 3. \(\varrho (t)\) ist zerlegbar in \(\varrho (t)=\varrho _1(t)+\varrho _2(t)\), wo \(\varrho _1(t)\) fastperiodisch ist und \((\varrho _2(t))^2\) den Mittelwert Null hat. Schließlich gilt das Gesetz der großen Zahlen, d. h. mit \(\xi (T)= { \frac 1T\int \limits ^T_0}x_tdt\) ist mit beliebig kleinen positiven Zahlen \(\varepsilon \) und \(\delta \) für hinreichend großes \(T\) und alle \(U>0\) die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ |\xi (T+U)-\xi (T)|>\varepsilon \] kleiner als \(\delta \). Ein Schlußparagraph stellt eine Beziehung her zu dem \textit{v. Neumann}schen ``Quasiergodensatz'' und ähnlichen Untersuchungen.