Eine Verallgemeinerung des Differenzenverfahrens für Differentialgleichungen. (Q2617758)

Das bisher übliche Differenzenverfahren zur Lösung linearer Randwertaufgaben für eine Differentialgleichung \[ L[f]=t(x_1,x_2,\dots,x_n), \] worin \(L\) einen linearen Differentialoperator bedeutet, besteht darin, daß\ man die in \(L\) auftretenden Ableitungen durch Differenzenquotienten für eine Spanne \(h\) ersetzt und die entstehende Differenzengleichung unter den vorgeschriebenen Randbedingungen auflöst. Ist \(F_h\) die Lösung der Differenzengleichung, so sind unter gewissen Vorausseztungen die Werte von \(F_h\) Näherungswerte für die Werte, welche die Lösung \(f\) der Differentialgleichung in den Gitterpunkten annimmt. Aber bei Maschenverfeinerung, d. h. für \(h\rightarrow 0\), strebt \(F_h\) nur langsam gegen \(f\). Verf. hat daher in seiner Disertation (Das Differenzenverfahren mit höherer Approximation für lineare Differentialgleichungen, Schriften Berlin 3 (1935), 1-34; F. d. M. 61), über die er hier berichtet, bei gewissen weitergehenden Differenzierbarkeitsannahmen über \(f\) den Ausdruck \(L[f]\) durch finite Ausdrücke \(\varLambda [f]\) ersetzt, die \(L[f]\) in höherem Grade in bezug auf \(h\) annähern als der Ausdruck, der aus \(L[f]\) einfach dadurch entsteht, daß\^^Mman die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Zu jedem \(L[f]\) gibt es ein solches \(\varLambda [f]\), daß\ \(|L[f]-\varLambda [f]|\leqq \text{ const }\cdot \;h^r\) ist mit beliebig vorgeschriebenem Approximationsgrad \(r\). Die Lösungen \(\varphi _h\) der Gleichung \[ \varLambda [\varphi _h]=t(x_1,x_2,\dots,x_n) \] streben, wie Verf. in zahlreichen Fällen bestätigt fand, für \(h\rightarrow 0\) rascher gegen \(f\) als die oben genannten \(F_h\). (IV 12.)