Modified Ritz method. (Q2617759)

Das \textit{Ritz}sche verfahren gibt nur obere Grenzen für die Eigenwerte des betreffenden Randwertproblemems und keinen Anhalt für die Fehlerabschätzung. In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode gegben, mittels der man die Eigenwerte zwischen zwei Grenzen einschließen kann. Hat man die Gleichung \[ H(\psi _n)=W_n\psi _n, \] wo \(H\) ein operator (insbesondere wird \(H=\nabla ^2+U\) gesetzt, wo \(U\) eine Potentialfunktion ist) ist, so gilt für den Eigenwert, dem \(J_1\) am nächsten liegt: \[ J_1+\sqrt {J_2-J_1^2}\geqq W_j\geqq J_1-\sqrt {J_2-J_1^2}, \] wo für die Näherungslösung \(\xi \) der Ausdruck \(\int \xi \cdot \xi ^{\ast }d\tau =1\) und \[ J_1={ \int }\xi H(\xi ^{\ast })d\tau,\quad J_2={ \int }\big (H(\xi )\big )^2d\tau \] ist. Die Ungleichung kann benutzt werden zur Bestimmung des Fehlers eines nach dem \textit{Ritz}schen Verfahren berechneten Näherungswertes \(J_1\) oder zur Berechnung eines Eigenwertes. Dann muß\ \(\xi \) so gewählt werden, daß\ \(\sqrt {J_2-J_1^2}\), das für eine exakte Lösung verschwindet, möglichst klein wird. (IV 13.)