Eine Begründung der ebenen elliptischen Geometrie. (Q2617770)

Verf. liegen folgendes Axiomensystem zu Grunde: (1) Axiome der Verknüpfung; (2) Existenz der Senkrechten in dem Sinne, daß\ es in jedem Punkte eine absolute Involution der durch ihn hindurchgehenden Geraden gibt; (3) Verdoppelbarkeit jeder Strecke (damit ist die Einführung des Begriffes der Spiegelung möglich geworden); (4) Invarianz der Verknüpfung, des Senkrechtstehens und der Streckenlänge gegenüber Spiegelungen. - Den Begriff des Winkels brauchen Verf. also nicht, ebensowenig die allgemeine ebene Kongruenz, ja nicht einmal die Abtragbarkeit jeder Strecke auf jeder Geraden. Stetigkeit wird nicht vorausgesetzt. - Drehungen werden definiert als Produkt zweier Spiegelungen. Nun wird ein abstrakter ``kinematischer'' Raum eingeführt: Jede Drehung wird aufgefaßt als abstrakter Punkt und gleichzeitig als Ebene, jede Gruppe aller Drehungen um einen Punkt sowie jede zugehörige Nebengruppe als Gerade. Die Verknüp\-fung wird geeignet erklärt. Dadurch wird unser kinematischer Raum ein projektiver. In ihm ist durch die doppelte Beziehung der Drehungen zu Punkten und Ebenen eine Polarität gegeben. - Besonders merkwürdig sind der Punkt und die Ebene, die der Identität entsprechen. Jeder Ebene durch diesen Punkt entspricht eine involutorische Drehung, oder was in der elliptischen Geometrie dasselbe ist, eine Spiegelung an einer Achse; jeder Geraden durch diesen Punkt entspricht eine Gruppe von Drehungen um einen Punkt. Ordnet man nun jeder solchen Ebene die Achse der Spiegelung, jeder solchen Geraden den Fixpunkt der Drehung zu, so zeigt sich, daß\ diese Abbildung verknüpfungstreu ist. Daraus folgt sofort der Satz von \textit{Desargue}s. Der Satz von \textit{Pascal} folgt ebenfalls durch Herausgehen in den Raum in der üblichen Weise aus der Existenz der Regelflächen zweiter Ordnung. Damit hat man alles. Man kann eine analytische Geometrie einführen. Da man keine Stetigkeit hat, ergit sich die Schwierigkeit, daß\ man neben den linearen Transformationen noch die Automorphismen des Grundkörpers als Kollineationen mit berücksichtigen muß. - Man gewinnt den imaginären absoluten Kegelschnitt. Die Verf. beweisen noch, daß\ der Grundkörper, um den Axiomen zu genügen, reell und daher anordenbar ist.