Homotopiegruppen von Komplexen. (Q2617779)

\(C\) sei ein endlicher \(n\)-dimensionaler Komplex, \(U\) sein universeller Überlagerungskomplex und \(\mathfrak G\) die zur Fundamentalgruppe von \(C\) einstufig isomorphe Gruppe der automorphen Abbildungen von \(U\). Ist \(\gamma \) ein Element von \(\mathfrak G\), \(a\) eine Zelle von \(U\), so sei \(\gamma a\) die durch die Abbildung \(\gamma \) aus \(a\) entstehende Zelle von \(U\). Wenn die \(a_i^k\) die \(k\)-dimensionalen Zellen eines Fundamentalbereichs von \(U\) bei \(\mathfrak G\) sind, d. h. eines solchen Systems von Zellen, das zu jeder Zelle von \(U\) eine und nur eine mit ihr bei \(\mathfrak G\) äquivalente Zelle enthält, so läßt sich jede (endliche) \(k\)-dimensionale Kette von \(U\) durch \[ c^k=\sum n_{ij}\gamma _ja_i^k \qquad (n_{ij}\quad \text{ganz rational}) \] darstellen, wobei jeweils nur endlich viele \(n_{ij}\) von Null verschiedene sind; die durch Addition der \(c^k\) erklärte abelsche Gruppe sei \(\mathfrak K^k\). Versteht man unter \(\mathfrak R\) das hyperkomplexe System der linearen Verbindungen \[ r=\sum n_j\gamma _j \qquad (n_{j}\quad \text{ganz rational}) \] mit nur endlich vielen von null verschiedenen \(n_j\), in dem Addition und Multiplikation durch formales Ausrechnen unter Benutzung der distributiven Gesetze erklärt sind, so kann man für die Elemente von \(\mathfrak K^k\) auch schreiben \[ c^k=\sum r_ia_i^k \qquad (r_i \quad \text{in}\quad \mathfrak R). \] \(rc^k\) hat dann offenbar einen Sinn, und \(\mathfrak K^k\) ist somit eine abelsche Gruppe, die \(\mathfrak R\) als Operatorenbereich zuläßt. Ist \(\mathfrak g\) eine invariante Untergruppe von \(\mathfrak G\), so kann man in \(\mathfrak R\) und in \(\mathfrak K^k\) Kongruenzen \(\mod \mathfrak g\) erklären durch die Festsetzung: \(r_1\equiv r_2\mod \mathfrak g\), wenn Ersetzen der \(\gamma _j\) durch ihre Restklassen \(\mod \mathfrak g\) und Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Restklassen zu dem gleichen Element des aus \(\mathfrak G/\mathfrak g\) gebildeten hyperkomplexen Systems führt, und \(c_1^k\equiv c_2^k \mod \mathfrak g\), wenn die Koefiizienten der \(a_i^k\) in \(\mathfrak R\mod \mathfrak g\) kongruent sind. Man kann nun genauin in der sonst üblichen Weise den Rand einer Kette definieren und glangt dadurch zu zwei Untergruppen von \(\mathfrak K^k\): der Gruppe der geschlossenen Ketten \(\mathfrak K_{\mathfrak e}^k\) und der Gruppe der berandenden geschlossenen Ketten \(\mathfrak K_o^k\). Daneben werden noch die Gruppen \(\mathfrak K_{\mathfrak g}^k\) der \(\mod \mathfrak g\) geschlossenen Kettten gebildet (\(\mathfrak g\) invariante Untergruppe von \(\mathfrak G\)). Als Homotopiegruppen \(k\)-ter Dimension werden die Gruppen \[ \mathfrak H^k=\mathfrak K_{\mathfrak G}^k/\mathfrak K_o^k \] eingeführt, die also in der Gruppe mit Operatorenbereich \(\mathfrak K^k\) ähnlich definiert sind wie sonst die Homologiegruppen; entsprechend kann man auch \[ \mathfrak H_{\mathfrak g}^k=\mathfrak K_{\mathfrak g}^k/\mathfrak K_o^k \] bilden. Bei Unterteilung von \(C\) bleiben die \(\mathfrak H^k\) entweder ungeändert, oder aber es wird eine freie Erzeugende hinzugefügt. Durch Invarianz gegen diesen Prozeß\ sind diejenigen Eigenschaften der Gruppen \(\mathfrak H^k\), denen eine invariante Bedingung in Bezug auf \(C\) zukommt, gekennzeichnet.