Sur les propriétés locales des ensembles fermés. (Q2617794)

Das Verhalten einer abgeschlossenen Menge \(F\) des \(R^n\) in der Nähe ihres Punktes \(a\) wird mit den Methoden der algebraischen Topologie untersucht; nämlich, wenn \(U\) eine Umgebung von \(a\) bezeichnet, durch die Betrachtung der ``Relativzyklen'' (im Sinne von \textit{Lefschetz}) in \(F\cdot \bar U\) relativ zu \(F-U\). Man kommt so zur Definition der ``\textit{Betti}schen Zahlen \(p^r(a,F)\) von \(F\) im Punkte \(a\).'' Es wird erstens ein Dualitätssatz \textit{Alexander}scher Richtung ausgesprochen, welcher besagt, daß\ \(p^r(a,F)\) gleich der ``\((n-r-1)\)-ten \textit{Betti}schen Zahl von \(R^n-F\) im Punkte \(a\)'' ist - letztere Zahl in einer natürlichen Weise definiert. Zweitens: Unter den Kurven werden diejenigen endlichen Zusammenhanges sowie diejenigen, welche dem Kreis homöomorph sind, durch die Zahlen \(p^1(a,F)\) charakterisiert. Die wichtigsten und merkwürdigsten unter den Ergebnissen, über welche in dieser Note berichtet wird, sind wohl diejeinigen, welche sich auf den Begriff der ``Erreichbarkeit'' beziehen: Dieser bekannte begriff wird, mittels der Zyklen in \(R^n-F\), die in der Nähe des zu untersuchenden Punktes \(a\) von \(F\) liegen, so zum Begriff der ``\(s\)-Erreichbarkeit'' verallgemeinert, daß\ der alte Begriff mit dem der 0-Erreichbarkeit zusammenfällt; sodann gilt der Satz, daß\ die \(s\)-Erreichbarkeit durch das Verhalten der oben erwähnten Relativzyklen in \(F\) charakterisiert werden kann. Hierin ist insbesondere der Invarianzsatz enthalten, der besagt, daß\ die \(s\)-Erreichbarkeit des Punktes \(a\) von \(F\) eine innere topologische Eigenschaft von \(a\) und \(F\) ist - unabhängig von der Art der Einbettung der Menge \(F\) in den \(R^n\). (Alle Sätze werden ohne Beweis mitgeteilt.)