Über Viergeflechte. (Q2617842)

Ein Viergeflecht entsteht, indem man bei einem offenen Viererzopft oben wie unten die beiden linken Fäden und ebenso die beiden rechten Fäden verbindet. Die Verf. zeigen zunächst: {\parindent=8mm \begin{itemize}\item[(1)]Einer der Fäden des Geflechts kann von Überkreuzungen befreit werden. \item[(2)]JedesViergeflecht ist zu einem alternierenden mit höchstens ebenso vielen Überkreuzungen oder zu einem Kreis isotop, und zwar unter Erhaltung der Eigenschaft (1). \item[(3)]Jder Viergeflechtsknoten ist symmetrisch (d. h. isotop zu dem entgegengesetzt orientierten Knoten). \end{itemize}} Hat man eine Verkettung zweier Polygone, so kommt ihrer Verschlingungszahl \(v\) eine gruppentheoretische Bedeutung zu, nämlich: Die Faktorgruppe \(\mathfrak F\) der zweiten Kommutatorgruppe der Gruppe \(\mathfrak G\) der Verkettung läßt sich durch zwei Erzeugende \(S, T\) mit der Relation \[ (STS^{-1}T^{-1})^v=1 \] und den Relationen, die die Vertauschbarkeit von \(S\) und \(T\) mit \(STS^{-1}T^{-1}\) besagen, darstellen. Die Ergebnisse werden nun auf spezielle Viergeflechtsknoten angewendet, die sich in der durch (1) und (2) bestimmten Normallform folgendermaßen darstellen: Oben ein Zweierzopft der mittleren Fäden mit \(2m+1\) Überkreuzungen, dann abwechselnd Zweierzöpfe der beiden linken und der beiden mittleren Fäden mit \(2r_i\) bzw. \(2m_i\) Überkreuzungen, abschließend mit Überkreuzungen auf den mittleren Fäden (vgl. \textit{Reidemeister} 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 937). Eine ausführliche Untersuchung der Knotengruppe liefert u. a. mehrstufige Isomorphie dieser Gruppen mit einer Gruppe aus zwei Erzeugenden \(K,S\) mit Relationen der Form \[ KSKS=1, \qquad K^2=1, \qquad S^{2k+1}=1. \] Das ermöglicht, eine zur Knotengruppe isomorphe Permutationsgruppe anzugeben, die nach \textit{Reidemeister} (l. c.) eine unverzweigte Überlagerung des Knotenaußen\-raums definiert. Die Wegegruppe des Überlagerungsraums ist die Gruppe einer Verkettung von unverknoteten Kreisen, deren Verschlingungszahlen Invarianten des Knotens sind. Im Falle eines Torusknotens mit \(2m+1\) Überkreuzungen ergibt sich z. B. für die Verkettung ein geschlossener Zopf aus \(m+1\) Fäden, der aus dem Einheitszopft durch zweimalige gleichsinnige Verdrillung um \(360^{\circ }\) entsteht. Die allgemeine Untersuchung der Verschlingungszahlen der den speziellen Viergeflechten zugeordneten Verkettungen - der ``Kennzahlen'' des Viergeflechts - stützt sich nur auf die oben angegebene gruppentheoretische Charakterisierung der Verschlingungszahl. Die Kennzahlen sind 0 oder 2. Einer von den Kreisen der Verkettung ist mit allen übrigen je zweimal werkettet. Die Brezelknoten, deren drei Zweierzopfbestandteile die Überkreuzungszahlen \((2m+1,1,2n+1)\) aufweisen (und für die allein von allen alternierenden Brezelknoten die Invarianz dieser Zahlen nicht bewiesen ist), lassen sich als Viergeflechte darstellen: Überkreuzungszahlen \(2m+1, 1, 2n+1\) auf den mittleren, den beiden linken und wieder den mittleren Fäden. Hier wird unter der Bedingung \(m\geqq n\) die Invarianz von \(n\) nachgewiesen, woraus mit Hilfe des \(L\)-Polynoms auch die von \(m\) folgt. Die invariante Kennzeichnung von \(n\) ergibt sich so: In der dem Viergeflecht zugeordneten Verkettung gibt es genau eine Kurve, die mit \(n+1\) anderen verkettet ist; alle anderen Kurven sind mit mehr als \(n+1\) Kurven verkettet. Schließlich werden noch die Kennzahlen der Paare \(7_4, 9_2\) und \(8_{14}\), \(9_9\) der \textit{Alexander-Briggs}schen Knotentabelle, die weder durch das \(L\)-Polynom noch durch die \textit{Min\-kowski}schen Einheiten getrennt werden können, angegeben: Sie leisten in beiden Fällen den Nachweis der Verschiedenheit.