Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. (Q2617852)

Verf. betrachtet in metrischen Räumen \textit{zusammenziehende} Transformationen, d. h. Transformationen, die den Abstand eines Punktepaares nicht vergrößern, \[ \varrho (f(x), f(y))\leqq \varrho (x,y), \] ferner \textit{Lipschitz}sche Zusammenziehungen \[ \varrho (f(x), f(y))\leqq \mu \varrho (x,y) \] \((\mu \) =const). \(\lambda \)-Konzentrationspunkt heißt ein Punkt \(p\), der für alle \(x\) \[ \varrho (f(x), p)\leqq \lambda \varrho (x,p) \] erfüllt. Verf. beweist, daß\ man jede auf einer Teilmenge eines euklidischen Raumes definier\-te zusammenziehende Transformation zu einer zusammenziehenden Transformation des ganzen Raumes fortsetzen kann; ferner das Entsprechende für \(\mu \)-\textit{Lipschitz}-Zusammenziehungen. Weiter beweist Verf. einen mit dem \textit{Brower}schen Fixpunktsatz eng zusammenhängenden Satz: Eine Zusammenziehung, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums auf eine beschränkte Menge abbildet, besitzt mindestens einen Konzentrationspunkt; das Entsprechende gilt bei den \(\mu \)-\textit{Lipschitz}-Zusammen\-ziehungen.