Étude locale d'une surface et de certaines intégrales. (Q2618007)

Verf. knüpft an die Arbeit von \textit{G. Dumas} (Sur les singularités des surfaces, Atti Congresso Bologna 4 (1931), 419-423; F. d. M. 57) an, worin ein konvexes Polyeder angegeben wird, das für Flächen die Verallgemeinerung des \textit{Newton}schen Polygons in der Theorie der ebenen Kurven darstellt. Es wird dann zuerst gezeigt, daß\ eine einfache Fragestellung auf dieses Polyeder führt, und hernach werden gewisse, von einem Parameter abhängende Integrale behandelt. Ist \(y\) durch \(f(x,y,z)=0\) als Funktion von \(x\) und \(z\) gegeben, so werden zunächst die singulären Stellen von \(f\) (z. B. der Nullpunkt \(x=y=z=0\)) betrachtet. Entwickelt man \(f\) in der Umgebung der singulären Stelle in eine Potenzreihe, so lassen sich die drei Exponenten jedes Gliedes als Koordinaten eines dem betreffenden Gliede zugeordneten Punktes in einem dreidimensionalen Raume deuten. Obiges Polyeder ergibt sich dann als das kleinste konvexe Polyeder, das alle Punkte, denen Glieder mit nicht verschwindenden Koeffizienten entsprechen, umfaßt. Ist \(L\) ein in der komplexen \(x\)-Ebene gelegener Weg, und wird \(z\) als Parameter aufgefaßt, so betrachtet Verf. das Integral \[ I(z)={ \int \limits _L}g(x,y,z)dx, \] worin für \(y\) die oben definierte Funktion von \(x\) und \(z\) einzusetzen ist. Es wird bewiesen, daß\ \(I(z)\) sich in der Umegbung der Singulärenstelle in eine reguläre \textit{Fuchs}sche Reihe entwickeln läßt, wobei \(\log z\) nur linear auftritt und das Polyeder die zur expliziten Aufstellung dieser Reihe nötigen Daten gibt.