Caratterizzazione geometrica, topologica e trascendente delle serie di equivalenza sopra una superficie. (Q2618008)

Nach früheren Arbeiten des Verf. (1933; JFM 59.0630.*-633) ist eine Äquivalenzschar auf einer Fläche \(F\) eine Schar von Punktgruppen, die durch endlichviele Additionen und Subtraktionen aus den Niveaugruppen eines Paares auf \(F\) rationaler Funktionen hergestellt werden kann; eine Äquivalenzschar ist also dadurch charakterisiert, daß\ sie gänzlich in einer rationalen Schar oder der Differenz zweier solcher enthalten ist. Die letztere Möglichkeit unterscheidet sie von den Linearscharen auf einer Kurve. Auf einer Kurve kann aus der Äquivalenz der vielfachen auf die der einfachen Gruppen geschlossen werden; nicht so auf Flächen. Man muß\ daher als pseudoäquivalente Scharen diejenigen definieren, deren Gruppen, mit einem geeigneten ganzen \(k\) verfielfacht, äquivalent sind. Charakteristisch für diese Scharen ist, daß\ jeder lineare Zykel, der ganz von ihren Gruppen erfüllt ist, ein Nullteiler ist und daß\ jeder ganz von Gruppen erfüllte Flächenzykel algebraisch ist. Der Beweis dieses Hauptsatzes ist nur skizziert. Damit alle Punkte einer Fläche pseudoäquivalent seien, muß\ \(p_a=p_g=0\) sein; dagegen ist die Rationalität dieser Flächen zweifelhaft. Eine ähnlich präzise Charakterisierung der Äquivalenzscharen selbst steht noch aus; sie sind zwar auch von der Linearzirkulation Null, haben algebraische Flächenzirkulation und Zyklotorsion Null; aber nur auf torsionsfreien Flächen reichen bislang diese Eigenschaften zu ihrer Kennzeichnung aus. Vom transzendenten Gesichtspunkt aus sind die Pseudoäquivalenzscharen dadurch gekennzeichnet, daß\ in ihren Gruppen die Summen der einfachen und Doppelintegrale erster Gattung von \(F\) konstant sind. Ist \(\sigma \) eine Äquivalenzschar und \(r\) die Maximalzahl allgemeiner Punkte, derart daß\ die hindurchgehenden Gruppen entweder endlich viele Gruppen oder eine Kurvenschar ausmachen, ist \(s\) ferner die Dimension der letzteren, so ist \(\varrho =2r+s\) die Dimension von \(\sigma \), \(2r\) die Flächen-, \(s\) die Kurvendimension von \(\sigma \). Die durch einen festen Punkt gehenden Gruppen einer vollständigen Pseudoäquivalenzschar mit \(s=0\) verteilen sich auf endlichviele irreduzible vollständige Pseudoäquivalenzscharen. Ist daher \(n\) die Ordnung der Schar, so gibt es eine neue Invariante der Fläche, \(\delta \), so daß\ \(\varrho \geqq 2(n-\delta )\) ist. Ihr Zusammenhang mit den bekannten Invarianten ist noch ungeklärt.