La théorie générale des correspondances entre deux surfaces algébriques. (Q2618011)

Bestimmt man eine Mannigfaltigkeit \(V_k\) in \(W_{\nu }\) (Indices bezeichnen die Dimension) durch Gleichungen \(f_{\nu }-\alpha _{\nu }(\nu =1,\dots,r-k-\lambda ;0\leqq \lambda \leqq r-k)\), worin \(f_{\nu }\) rationale Funktionen auf einer \(V_{r-\lambda }\) in \(W_{\nu }\) sind, so durchläuft \(V_k\) bei veränderlichen \(c_{\nu }\) eine \textit{Äquivalenzschar}. Eine \(\infty ^2\)- bzw. \(\infty ^3\)-Korrespondenz zwischen zwei Flächen \(F\) und \(F'\) ist eine \(V_2\) bzw. \(V_3\) in der Produktmannigfaltigkeit \(F\times F'\). Ausgeartete Korrespondenzen sind (1) \(F\times C'\) (\(C'\): Kurve auf \(F'\)) oder umgekehrt; (2) \(C\times C'\), und Kombinationen solcher mit ganzem Koeffizienten \((\lesseqqgtr 0)\); (3) \(x\times F'\) (\(x\): Punkt auf \(F\)) oder umgekehrt. Die \(\infty ^2\)-Korrespondenz \(T\) hat die \textit{Wertigkeit} Null, wenn die dem Punkt \(x\) von \(F\) nach \(T\) entsprechende Gruppe \(X'\) auf \(F'\) eine Äquivalenzschar durchläuft. Dann ist \(T\) äquivalent \(X\times F'+F\times X'+S\), worin \(S\) ausgeartet von zweiter Art ist. Es wird auf das Korrespondenzprinzip hingewiesen, und es werden die entsprechenden Angaben für Wertigkeitskorrespondenzen gemacht. Der umfassendste Satz ist: Es gibt \(\infty ^2\)-Korrespondenzen \(T_1,\dots,T_8\) zwischen \(F\) und und \(F'\) derart, daß\ \(\varSigma \lambda _{\nu }T_{\nu }\) nur für \(\lambda _1=\cdots =\lambda _8=0\) die Wertigkeit Null hat, und daß\^^Mjede \(\infty ^2\)-Korrespondenz \(T\) äquivalent ist mit \[ X\times F'+F\times X'+\varSigma \lambda _i(T_i-X_i\times F'-F\times X_i)+S; \] dabei sind \(X_i\) und \(X_i^{\prime }\) die einem Punkt \(x'\) von \(F'\) bzw. \(x\) von \(F\) bei \(T_i\) entsprechenden Gruppen. Eine \(\infty ^3\)-Korrespondenz \(T\) ist - noch einfacher - äquivalent \(X\times F'+F\times X'\), wobei \(X\) und \(X'\) diesmal Bildkurven bei \(T\) sind. Danach läßt sich jede \(\infty ^3\)-Korrespondenz durch solche der Wertigkeit Null und \(t\) von diesen unabhängige ausdrücken, wobei \(t\) höchstens gleich dem doppelten Produkt der Irregularitäten von \(F\) und \(F'\) ist.