La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data e la teoria generale delle corrispondenze fra i punti di due superficie algebriche. (Q2618074)

Die algebraischen Mannigfaltigkeiten \(V_k^n\) eines \(R_r\) \((k<r)\) bilden ein einziges Äquivalenzsystem, indem jede \(V_k^n\) sich stetig in eine aus \(n\) verschiedenen linearen \(R_k\) zusammengesetzte Mannigfaltigkeit überführen läßt. Betrachtet man hingegen die \(V_{k'}^n\) die einer irrationalen algebraischen \(W_r\) angehören, so brauchen diese sich nicht einmal auf eine endliche Anzahl von Äquivalenzsysteme zu verteilen. Es erhebt sich daher die Frage nach der Basis für die \(V_k^n\) auf \(W_r\); zwei solche Mannigfaltigkeiten heißen algebraisch äquivalent, wenn sie bis auf einen hinzuzufügenden festen Bestandteil dem gleichen kontinuierlichen System angehören; sie heißen arithmetisch äquivalent, wenn sie jede \(V_{r-k}\) auf \(W_r\) in der gleichen Punktzahl \([V_k,V_{r-k}]\) treffen; topologische Homologie zieht arithmetische Äquivalenz nach sich, und die Umkehrung ist wahrscheinlich. Es ist ferner wahrscheinlich, daß\ arithmetische und algebraische Äquivalenz gleichbedeutend sind. Das Folgende bezieht sich vorläufig nur auf die arithmetische Äquivalenz. Bezüglich ihrer haben die \(V_k\) eine endliche Basiszahl \(\varrho \), d. h. es gibt \(\varrho \) nicht äquivalente Mannigfaltigkeiten \(V_k:A_1,\dots,A_\varrho \) auf \(W_r\), so daß\ für jede weitere \(A\) eine Äquivalenz der Form \[ \lambda A+\lambda _1A_1+\cdots +\lambda _\varrho A_\varrho \equiv 0 \] mit ganzzahligen \(\lambda _i\) gilt. Die \(V_{r-k}\) haben die gleiche Basiszahl \(\varrho \). Diese Basis gestattet die Lösung des Problems der Charakteristiken algebraischer Bedingungen, indem letztere sich immer linear aus \(\varrho \) festen Bedingungen zusammenfügen lassen. Verf. bestimmt nun die Basis für die Korrespondenzen \(T\) zwischen zwei Flächen \(F\) und \(F'\), die aus \(\infty ^2\) entsprechenden Punktgruppen bestehen. Es gibt drei Arten ausartender \(T\): (1) solche, die den Punkten von \(F\) Punktgruppen einer festen Kurve auf \(F'\) zuordnen; (2) solche, \(\theta \), die aus den \(\infty ^2\) Punktepaaren zweier fester Kurven auf \(F\) und \(F'\) bestehen; (3) solche, \(S\), die allen Punkten von \(F\) endlich viele feste Punkte von \(F'\) zuordnen. Die eine Art ist nicht stetig in eine andere überführbar; die ausartenden \(T\) zweiter und dritter Art haben notwendig die Valenz Null, dagegen nicht diejenigen erster Art. Umgekehrt ist jede \(T\) der Valenz Null auf der Mannigfaltigkeit \(W=F\times F'\) der Punktepaare von \(F\) und \(F'\) in der rationalen Äquivalenz \[ T\equiv \lambda _1\theta _1+\lambda _2\theta _2+\mu _1S_1+\mu _2S_2 \] darstellbar. Auf \(W\) bilden die Punktepaare mit festem Punkt auf \(F\) bzw. \(F'\) zwei Flächensysteme \(\varPhi,\varPhi '\), die die Bilder der Korrespondenzen \(S\) sind, jede \(T\) mit der Valenz Null bildet sich in \(W\) auf eine \(T\) ab, die einem Äquivalenzsystem \(|G\times F'+G'\times F+\theta |\) angehört, worin \(G\times F'\) und \(G'\times F\) die Gruppen von \(\varPhi,\varPhi '\) bedeuten, die durch den Schnitt von \(T\) mit einer festen \(\varPhi '\) bzw. \(\varPhi \) gehen und \(\theta \) eine passende ausgeartete \(T\) zweiter Art ist, die man zu \(T\) assoziiert nent. Die Gesamtheit der \(T\) mit der Valenz Null hängt also nur von der Basis der \(\theta \) ab. die Darstellung \[ T\equiv G\times F'+G'\times F+\theta \] gestattet eine einfache Berechnung des Ranges von \(T\), und ihr Schnitt mit einer analogen Fläche gibt die elleganteste Form des Korrespondenzprinzips. Sind nun auf \(F\), \(F'\) zwei intermediäre Kurvenbasen \(C_1,\dots,C_{\varrho _1},C_1',\dots,C_{\varrho _2}'\) gegeben, so ist die Gesamtheit der \(\varrho _1\varrho _2\) Produkte \(C_iC_h'\) eine intermediäre Basis für die \(\theta \). Nimmt man zu den \(C_iC_h'\) noch die Nullteiler eines Fundamentalsystems auf \(F\) oder \(F'\) hinzu, so erhält man auf gleiche Weise eine Minimalbasis der \(\theta \). Legt man einer Korrespondenz \(\theta '\), von der ein Vielfaches die Valenz Null hat, die Pseudovalenz Null bei, so gelangt man zur Basisdarstellung der allgemeinsten \(T(\alpha,\beta )\): \[ T\equiv \alpha \varPhi +\beta \varPhi '+ { \sum \limits _{i=1}^s}\lambda _i (T_i-\alpha _i\varPhi -\beta _i\varPhi ')+\theta ', \] worin die \(T_i\) gewöhnliche Korrespondenzen mit den Indices \(\alpha _i,\beta _i\) sind, die algebraisch unabhängig von den \(\theta \) sind und ein für alle Mal fest vorgegeben werden können; die \(\lambda _i\) sind ganzzahlig. Daraus folgt wieder das Korrespondenzprinzip. Weiterhin untersucht Verf. den Zusammenhang dieser Fragen mit der topologischen Struktur von \(W\). Schließlich erledigt Verf. die gleichen Probleme bei den Korrespondenzen \(T\), die einem Punkte von \(F\) (bzw. \(F'\)) eine Kurve auf \(F'\) (bzw. \(F\)) zuordnen. Eine solche \(T\) hat die Valenz Null, wenn sie den Punkten von \(F\) Kurven eines Linearsystems zuordnet; \(T^{-1}\) hat dann auch die Valenz Null. Die ausartenden \(T\) ordnen die Punkte einer Kurve \(X\) von \(F\) allen Punkten von \(F'\) zu, sind also dem topologischen Produkt \(A\times F'\) äquivalent; ihre Basis erhält man sofort aus den Kurvenbasen von \(F\) und \(F'\). Für die allgemeine \(T\) hat der Basissatz die folgende Form: Sind \(q,q'\) die Irregularitäten von \(F,F'\) so kann man \(t\leqq 2qq'\) Korrespondenzen \(T_1,\dots,T_t\) vorgeben. Jede weitere \(T\) erfüllt dann mit ganzzahligen \(\lambda _i\) eine Äquivalenz der Form \[ \lambda (T-X'\times F-X\times F')\equiv { \sum \limits _{i-1}^t}\lambda _i (T_i-X_i'\times F-X_i\times F'), \] worin \(X,X_i\) bzw. \(X,X_i'\) die Kurven sind, die von \(T^{-1},T_i^{-1}\) bzw. \(T,T_i\) einem Punkte von \(F'\) bzw. \(F\) zugeordnet werden. Daraus folgt auch für diese Art von Korrespondenzen ein abzählendes Korrespondenzprinzip.