Nuovi contributi alla geometria sulle varietà algebriche. (Q2618075)

Die von \textit{Severi} eingeführten Begriffe der Äquivalenzscharen und -systeme geben die Möglichkeit einer systematischen Untersuchung aller mit einer algebraischen \(V_n\) verknüpften invarianten und kovarianten Mannigfaltigkeiten. Verf. führt diese für \(V_3\) durch und erhält eine Menge interessanter, nur zum Teil bekannter Ergebnisse. Auf einer Kurve \(C\) in \(V_3\) ist eine kanonische Schar \(\varkappa _C\), ferner eine Äquivalenzschar \(\chi _C=(CX)\) als Schnittschar von \(C\) mit den kanonischen Flächen \(X\) von \(V_3\) definiert. Ihre Darstellung zeigt, daß\ auf der vollständigen Schnittkurve zweier Flächen \(S\) und \(T\) die zu \(S+T+X\) äquivalenten Flächen kanonische Gruppen ausschneiden. Beschreibt \(C\) ein Äquivalenzsystem \(|C|\) von Kurven, so erfüllen \(\varkappa _C,\chi _C\) je eine kovariante Äquivalenzschar von \(V_3\), denn allgemein schneidet \(|C|\) aus jedem linearen Flächensystem \(|S|\) Gruppen \((CS)\) einer Äquivalenzschar aus. Zu \(|S|\) ist kovariant das Äquivalenzsystem \(\mathfrak A=(S^2)\) der charakteristischen Kurven und das kanonische Kurvensystem \[ H_s=(S^2)+(SX), \] während \[ \varXi =(X^2) \] ein mit \(V_3\) invariant verknüpftes Äquivalenzsystem von Kurven ist, dessen Grad mit \(\varOmega _0\) und dessen Geschlecht mit \(\varOmega _1\) bezeichnet werden. Ebenso ist das Äquivalenzsystem der Schnittgruppen dreier \(S\) aus \(|S|:\alpha =(S^3)\) kovariant zu \(|S|,\xi =(X^3)\) invariant zu \(V_3\). Es errechnet sich daraus: \[ 4\xi \equiv (S\varXi )-3\alpha +2\varkappa _{\mathfrak A}, \] sodaß\ die \textit{Enriques-Castelnuovo}sche Invariante von \(X\) gleich \(4\varOmega _0+1\) ist. Auch die \textit{Jacobi}schen Kurven \(J_S\) der in \(|S|\) enthaltenen Netze bilden ein Äquivalenzsystem und wegen \[ \psi _S\equiv (J_SS)-\alpha -2\varkappa _{\mathfrak A} \] auch die \textit{Severi}schen Scharen \(\psi _S\) der \(S\). \(\psi _X\) heißt die \textit{Severi}sche Schar der \(V_3\); ihre Ordnung ist \(12\varOmega _2-4\varOmega _0+12\), wenn \(\varOmega _2\) das arithmetische Geschlecht von \(X\) bedeutet; hat die Ordnung \(24(P_a-1)\), worin \(P_a\) das arithmetische Geschlecht der \(V_3\) ist. Betrachtet man ein Büschel \(|S|\), und ist \(\delta _S\) seine Doppelpunktsgruppe, so ist \[ \zeta \equiv \delta _S-\varkappa _{\mathfrak A}-2\psi _S \] nicht von \(|S|\) abhängig, also mit \(V_3\) invariant verknüpft; die Ordnung ist \(J-6\), wo \(J\) die \textit{Zeuthen-Segre}sche Invariante von \(V_3\) ist. Es ist: \[ \delta _X\equiv 7\xi +2\eta +\zeta. \] Schließlich zeigt sich, daß\ das Äquivalenzsystem \[ \mathfrak Y\equiv J_S-6(S^2)-3(SX) \] von \(|S|\) unabhängig und daher invariant ist; als Anwendung dieser Begriffe berechnet Verf. die kovarianten Scharen und die Charaktere einer zusammengesetzten Fläche aus denen der Bestandteile. Die Arbeit behandelt nun die kovariant mit einer oder zwei Flächennetzen \(|S|,|S_1|\) der \(V_3\) verknüpften Mannigfaltigkeiten; sie lassen sich durch alle \(X,\varXi,\mathfrak Y,\xi,\eta,\zeta \) und die benutzen Systeme \(|S|,|S_1|\) ausdrücken. Der Ort der Punkte, in denen zwei Flächen aus \(|S|\) und zwei aus \(|S_1|\) eine Tangente gemein haben, heißt die Kontaktkurve der Netze; sie beschreibt mit \(|S|\) und \(|S_1|\) ein Äquivalenzsystem, dessen Charaktere bestimmt werden. Hat \(|S|\) das Kurvengeschlecht \(p^{(1)}\), das arithmetische Geschlecht \(p_a\), eine einfache Basiskurve vom Geschlecht \(g_C\) und \(b\) einfache Basispunkte, schließlich \(J_S\) das Geschlecht \(g_J\), so ist \[ g_J-36p_a+b-9p^{(1)}-g_C=\tfrac 12J+24P_a \] nicht von \(|S|\) abhängig. \(J\) und \(\varOmega _0\) müssen für \(V_3\) also gerade sein. Von den vielen zu \(|S|\) kovarianten Äquivalenzscharen sei diejenige der Punkte erwähnt, in denen je ein Büschel aus \(|S|\) stationäre Berührung hat, und deren Ordnung \(24(2P_a+3p_a+p^{1})\) ist. In ähnlicher Weise behandeln die folgenden Kapitel die mit einem drei- oder vierdimensionalen linearen Flächensystem kovariant verbundenen Gebilde; als Anwendung ergeben sich die Formeln für Ordnung, Geschlecht und Immersionscharakter der doppelten Cuspidalkurven einer \(V_3\) mit normalen Singularitäten. Auch zwei Büschel \(|S|,|S_1|\) haben eine kovariante Berührungskurve \(\tau \) und eine kovariante Gruppe von \(t\) Punkten, in denen je ein Flächenpaar stationäre Berührung besitzt; \[ t=48(P_a+p_T), \] worin \(p_T\) das arithmetische Geschlecht von \(S+S_1\) ist, gibt die einfachste Definition von \(P_a\). Die Charaktere von \(\tau \) werden berechnet und die Sätze auf \(V_3=R_3\) spezialisiert. Die Spezialisierung auf gewöhnliche \(V_3\) des \(R_4\) ergibt schließlich die Formel von \textit{Severi}: \[ 2P_a=\varOmega _2-\varOmega _1+\varOmega _0+4 \]