Intorno alla parità di alcuni caratteri di una varietà algebrica di dimensione dispari. (Q2618099)

Bei einer algebraischen \(V_n\) sei \(J_n\) die \textit{Zeuthen}sche Invariante, \(R_h\) die \(h\)-te \textit{Betti}sche Zahl der zugehörigen \textit{Riemann}schen Mannigfaltigkeit \(M_{2n}\); dann folgt aus der \textit{Alexander}schen Formel \[ R_n=J_n+2(-1)^n(n-1)+2 \sum _{h=1}^{n-1}(-1)^{n-h-1}\cdot R_h, \] daß\ \(R_n\equiv J_n\pmod 2)\). Für ungerades \(n\) ist demnach \(J_n\) stets gerade; die Anzahl der Doppelpunkte, die von den \(V_{n-1}\) eines Büschels auf \(V_n\) ausgeschnitten werden, ist daher nach einer \textit{C. Segre}schen Formel auch gerade; insbesondere ist jede Überfläche mit normalen Singularitäten, die in einem linearen \(R_{2n}\) liegt, von gerader Klasse. Sind \(\varOmega _0,\varOmega _1\) Grad und Kurvengeschlecht des kanonischen Flächenäquivalenzsystems von \(V_n\), so beweist man \[ 2(\varOmega _1-1)=n\varOmega _0; \] für ungerade \(n\) muß\ also \(\varOmega _0\) gerade sein.