Dynamical trajectories and curvature trajectories. (Q2618107)

Verf. bezeichnet als ``Krümmungstrajektorie'' (curvature trajectory) einer durch eine Gleichung \(y''=F(x,y,y')\) vorgegebenen zweifach-unendlichen ebenen Kurvenmannigfaltigkeit jede Kurve, deren Krümmung in jedem ihrer Punkte das \(c\)-fache der Krümmung der in diesem Punkte von ihr berührten Kurve der Mannigfaltigkeit ist. Es werden die aus \(\infty ^3\) Kurven bestehenden Familien von Krümmungstrajektorien untersucht, die man zu einer gegebenen erzeugenden Mannigfaltigkeit \(y''=F(x,y,y')\) erhält, wenn \(c\) alle Werte des Intervalls \(-\infty <c<+\infty \) durchläuft, und insbesondere zu den vom Verf. in früheren Arbeiten behandelten ``Kraftfeldtrajektorien'', (dynamical trajectories; darunter wird die Gesamtheit aller \(\infty ^3\) möglichen Bahnen eines Massenpunktes in einem gegebenen ebenen Kraftfeld verstanden) und ``Schnitttrajektorien'' (sectional trajectories, das sind die Projektionen aller ebenen Schnitte einer gegebenen Fläche von einem gegebenen Zentrum in eine gegebene Ebene) in Beziehung gesetzt. Vor allem leitet Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen dafür ab, daß\ eine dreifach unendliche ebene Kurvenmannigfaltigkeit gleichzeitig zu zweien der drei genannten Gattungen von Trajektorien gehört; er stützt sich dabei wesentlichen auf das folgende, das Hauptergebnis der Untersuchung enthaldende Theorem: Eine Familie von Kraftfeldtrajektorien eines vorgelegten Kraftfeldes ist dann und nur dann gleichzeitig Familie von Krümmungstrajektorien, wenn das Kraftfeld ein Zentral- oder Parallelkraftfeld ist. Die zugehörige erzeugende zweifach unendliche Kurvenmannigfaltigkeit hat dann eine der beiden Gestalten: \(y''=(xy'-y)^3v(x,y)\) oder \(y''=y'{}^3\cdot v(x,y)\) mit willkürlichem \(v(x,y)\). (VI 3.)