A characteristic property of surfaces of negative curvature. (Q2618125)

Verf. stellt das zugrundeliegende Flächenstück \(S\) durch isotherme Parameter \(u,v\) in \(B:u^2+v^2<\varrho ^2\) dar, von denen die dreimal stetig differenzierbaren Koordinatenfunktionen \(x,y,z\) abhängen \((E=G=\lambda (u,v)\geqq 0,F=0)\). Die außer bei den Nullstellen von \(\lambda \) konforme Abbildung der \((u,v)\)-Ebene auf \(S\) bildet die volle Kreisscheibe \((u-u_0)^2+(v-v_0)^2\leqq r^2\) aus \(B\) auf ein Flächenstück des Inhaltes \(a(u_0,v_0,r)\) und des Umfanges \(l(u_0,v_0,r)\) auf \(S\) ab. Die Formeln: \[ a(u_0,v_0,r)\geqq \pi r^2\lambda (u_0,v_0),\tag{*} \] \[ l(u_0,v_0,r)\geqq 2\pi r[\lambda (u_0,v_0)]^{\tfrac 12}\tag{**} \] mit \(\lambda (u_0,v_0)\) bzw. \([\lambda (u_0,v_0)]^{\tfrac 12}\) als Vergrößerungsverhältnisse in \((u_0,v_0)\) sind bewiesen: (1) wenn \(S\) eben ist (\textit{L. Bieberbach}, 1914; F. d. M. 45, 670 (JFM 45.0670.*)), (2) wenn \(S\) Minimalfläche ist (\textit{E. F. Beckenbach}, The area and boundary of minimal surfaces, Annals of Math. 33 (1932), 658-664; F. d. M. 58), (3) wenn \(S\) nicht-positive \textit{Gauß}sche Krümmung besitzt (\textit{E. F. Beckenbach, T. Radó}, Transactions A. M. S. 35 (1933), 662-674; F. d. M. \(59_{\text I}\), 488). Die vorliegende Arbeit will angeben, inwieweit die Ungleichungen (*), (**) für Flächen negativer \textit{Gauß}scher Krümmung \textit{charakteristisch} sind. Eine isotherme Abbildung eines \((u,v)\)-Bereiches \(D\) auf eine Fläche \(S\) mit dreimal stetig differenzierbaren Koordinatenfunktionen soll eine \textit{typische} genannt werden. Durch folgendes wichtige Lemma, welches sich aus zwei interessanten Hilfsätzen zusammensetzt, wird der Zusammenhang dieser Abbildungen mit den subharmonischen Funktionen hergestellt: Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ die \textit{Gauß}sche Krümmung \(K\) einer Fläche \(S\), welche typische Abbildungen zuläßt, \(\leqq 0\) ist, überall, wo \(K\) auf \(S\) definiert ist, ist die, daß\ für alle typischen Abbildungen von \((u,v)\)-Bereichen auf \(S\) die (Abbildungs-)Funktion \(\lambda (u,v)\) subharmonisch ist. Schreibt man für \(a(u_0,v_0,r)\), \(l(u_0,v_0,r)\) die sich aus ihren Definitionen ergebenden Integralausdrücke, so drücken die Ungleichungen (*), (**) anderseits nach \textit{I. E. Littlewood} (1927; F. d. M. 53, 467 (JFM 53.0467.*)) definierende Eigenschaften subharmonischer Funktionen aus. Daher sind die Ungleichungen (*), (**) in dem Sinne für Flächen negativer Krümmung charakteristisch, als \(K\leqq 0\) auf \(S\) sein muß, wenn (*) oder (**) für alle typischen Abbildungen von \((u,v)\)-Bereichen \(D\) auf \(S\) und alle Kreise in \(D\) besteht. Immerhin kann zwar vom Verf. gezeigt und am Beispiel der stereographischen Projektion der \((x,y,z)\)-Einheitskugel auf die \((u,v)\)-Ebene veranschaulicht werden, daß\ typische Abbildungen von \((u,v)\)-Bereichen \(D\) auf Flächen \textit{positiver} Krümmung existieren, für welche die Ungleichungen (*), (**) für alle Kreise in \(D\) befriedigt sind, aber obige Verschärfung ``für \textit{alle} typischen Abbildungen'' erfordert eine \textit{nicht-positive} Krümmung.