Terne di congruenze sopra una superficie ed estensione della trigonometria. (Q2618164)

Verf. entwickelt die Grundlagen der Theorie der metrischen Eigenschaften dreier einparametriger Kurvenscharen auf Flächen. Die Kurven dieser drei Scharen werden durch Indices \(1,2,3,\dots \) gekennzeichnet. Zwei Kurven, deren Indices mod \(3\) kongruent sind, gehören derselben Schar an. Der Winkel, den eine Kurve der Schar \(h+1\) mit einer Kurve der Schar \(h+2\) einschließt, sei \(\psi _h\). In einem und demselben Flächenpunkte läßt sich immer erreichen, daß\ \[ \varSigma \psi _h=2\pi \] gilt. Verf. führt die drei Operatoren ein: \[ X_hf=\sin \psi _h\frac {df}{ds_h}, \] wo \(\frac {df}{ds_h}\) die Ableitung von \(f\) nach der Bogenlänge einer der Schar \(h\) angehörenden Kurve bedeutet. Es gilt: \[ { \sum \limits _{h=1}^3}X_h=0; \] der Klammerausdruck \(Y=(X_{h+1},X_{h+2})\) ist unabhängig von \(h\). Wird \((X_{h+1},X_{h+2})\) aus den \(X_h\) linear kombiniert: \[ (X_{h+1},X_{h+2})={ \sum \limits _{h=1}^3}b_hX_h, \] wobei die \(b_h\) nur bis auf eine gemeinsame additive Funktion bestimmt sind, so ist \[ \varSigma X_hb_h=0 \] charakteristisch für die Sechseckgewebe. Die für ein Orthogonalsystem gültige Formel \[ \left (\frac d{ds},\frac d{d\overline {s}}\right )=-\gamma \frac d{ds}-\overline \gamma \frac d{d\overline {s}}, \] wobei \(\gamma,\overline \gamma \) die geodätischen Krümmungen der Systemkurven bedeuten, verallgemeinert Verf. für beliebige Netze, deren Kurven den Winkel \(\psi \) einschließen: \[ \sin \psi \left (\frac d{ds},\frac d{d\overline {s}}\right )=\varGamma \frac d{ds}+\varGamma '\frac d{ds'} \] \[ \varGamma =-m'+m\cos \psi,\varGamma '=-m+m'\cos \psi, \] \[ m'=\gamma +\frac {d\psi }{ds},m=\gamma '-\frac {d\psi }{ds'}. \] \(m,m'\) nennt Verf. die ``gemischten Krümmungen''. Verf. betrachtet anschließend bei drei Kurvenscharen die Operatoren \[ \sin \psi _h\left (\frac d{ds_{h+1}},\frac d{ds_{h+2}}\right ). \] Die drei Differentialausdrücke \(X_{h+1}\psi _{h+2}-X_{h+2}\psi _{h+1}\) haben den gleichen Wert \(3\tau \). \(\tau \) nennt Verf. die ``Dreieckskrümmung''. Es ist \[ \tau =\tfrac 13{ \sum \limits _{h=1}^3}\sin \psi _h\gamma _h. \] Als ``alternatore triangolare'' wird eingeführt: \[ Af={ \sum \limits _{h=1}^2}\sin \psi _{h+1}\sin \psi _{h+2} \left (\frac d{ds_{h+1}},\frac d{ds_{h+2}}\right )f. \] \(Af\) und \(Yf\) werden linear aus den \(X_h\) kombiniert und die Koeffizienten durch die \(\gamma _h,\psi _h\) und deren Ableitungen ausgedrückt. Zum Schluß\ betrachtet Verf. Flächendreiecke, die von drei Kurven der drei Scharen begrenzt werden. \(l_h\) seien die Längen der Dreiecksseiten. Der Ausdruck \[ F={ \sum \limits _{h=1}^3}l_h\left (\frac {df}{ds_h}\right )_h \] \(\bigg (\bigg (\dfrac {df}{ds_h}\bigg )_h\) heißt: Es ist \(\dfrac {df}{ds_h}\) in dem der Seite \(l_h\) gegenüberliegenden Punkte des Dreiecks zu bilden\(\bigg )\) wird untersucht. Verf. zeigt, daß\ \(F\) bis auf Glieder, die in den \(l_h\) von dritter Ordnung sind, gleich \(-\tfrac 12 Af\) ist. Für die \textit{Gauß}sche Krümmung leitet Verf. einen in den Indices \(h\) symmetrischen Ausdruck her.