Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 52: Flächengewebe im dreidimensionalen Raum. (Q2618168)

Für \(n\) Ebenenscharen im Raume \(t_{\nu }=\text{const }(\nu =1,2,\dots,n)\) bestehe eine Relation der Form \(T_1(t_1)+T_2(t_2)+\cdots +T_n(t_n)=0\). Dann bilden die Ebenen eine algebraische Torse \(n\)-ter Klasse in einem Gebiet, wo durch jeden Punkt \(n\) reelle Ebenen dieser Torse gehen. Die Torse gehört zu einer stetigen Familie von Torsen \(n\)-ter Klasse mit einem Geschlecht \(\geqq 1\). \textit{Alle} Torsen \(n\)-ter Klasse sind dadurch zu kennzeichnen, daß\ in jeder Scharebene von den Ebenen der übrigen Scharen ein Geradengewebe ausgeschnitten wird, das einer Relation der obigen Form genügt (Spezialfall: Systeme von \(n\) Ebenenbüscheln). - Flächen-\(n\)-Gewebe maximalen Ranges sind für \(n>5\) stets auf Ebenen (einer Torse \(n\)-ter Klasse) topologisch abbildbar (Rang: Höchstzahl linear unabhängiger Relationen obiger Form zwischen den Scharparametern). Der Satz gilt auch für \(n=4\) (\textit{Dubourdieu}), aber nicht für \(n=5\). Beim Beweis, der für \(n>6\) dem Verfahren von \textit{Blaschke} für Kurvengewebe nachgebildet ist, ergeben sich zudem folgende Sätze: Eine Torse \(n\)-ter Klasse \((n\geqq 6)\) und vom Höchstgeschlecht umhüllt eine Fläche zweiter Klasse. - Ein Flächenstück, das \(R_5\) aufspannt und \(\infty ^3C_3\) enthält, ist ein Teil einer rationalen Fläche, die sich bei geeigneter Koordinatenwahl darstellen läßt durch \(x_1=1,x_2=\lambda,x_3=\mu,x_4=\lambda \mu,x_5=\lambda ^2,x_6= \lambda ^2\mu \).