Etude des espaces non holonomes. (Q2618185)

Unter einer anholonomen Mannigfaltifkeit \(V_n^m\) versteht man eine Mannigfaltigkeit mit der Maßbestimmung \[ ds^2={ \sum \limits _{i,j=1}^n}a_{ij}dx^idx^j\tag{1,} \] in der \(n-m(m>1)\) \textit{Pfaff}sche Gleichungen \[ { \sum \limits _{i=1}^n}\varphi _{ij}dx^i= 0\qquad (j=1,2,\dots,n-m)\tag{2} \] gegeben sind. Sind diese unbeschränkt integrabel, so reduziert sich die \(V_n^m\) auf eine Schar von \(\infty ^{n-m}\) \textit{Riemann}schen Räumen \(V_m\) (``integrabler Fall''). Verf. untersucht die \(V_n^m\) in der Weise, daß\ er in ihr \(m\) paarweise orthogonale Kurvenkongruenzen, die ``Fundamentalkongruenzen'', einführt, diese durch \(n-m\) außerhalb der \(V_n^m\) gelegene unabhängige ``Anholonomiekongruenzen'' ergänzt und die Eigenschaften der \(V_n^m\) gegenüber jenen lenearen Transformationen der kontravarianten Tangentenvektoren (Parameter) der Kongruenzen betrachtet, welche die Parameter der Fundamentalkongruenzen und die Parameter der Anholonomiekongruenzen je untereinander vertauschen, und zwar jene orthogonal, diese affin. Die \(V_n^m\) ist bei dieser Auffassung mit der Maßbestimmung \[ ds^2=ds_1^2+ds_2^2+\dots +ds_m^2\tag{3} \] (\(ds_i\) Bogenelement der \(i\)-ten Fundamentalkongruenz) versehen. Gebilde (bzw. Größen) der \(V_n^m\) sollen im Folgenden innere, alle übrigen äußere Gebilde (Größen) heißen. Die vorliegende Abhandlung ist die Fortsetzung einer früheren (Verf. 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 1031). Verf. bespricht in der Einleitung die z. T. stark voneinander abweichenden Gesichtspunkte, unter denen die \(V_n^m\) von verschiedenen Autoren betrachtet worden sind. Im ersten Kapitel leitet er zunächst die Grundformeln für die \(V_n^m\) auf neue Weise ab, führt sodann durch Variation des \(ds^2\quad (3)\) bei infinitesimaler Verschiebung der Punkte der \(V_n^m\) nach außen die zweite Grundform der \(V_n^m\) ein und bespricht die mit dieser zusammenhängenden Begriffe. Hierauf wendet er sich der Parallelübertragung zu. In einer \(V_n^m\) kann man 1) einen inneren Vektor längs eines inneren Weges, 2) einen inneren Vektor längs eines äußeren Weges und 3) einen äußeren Vektor längs eines inneren Weges parallel übertragen. Die erste dieser Übertragungen läßt die Länge des Vektors ungeändert und ist (im nicht-integrablen Falle) nicht symmetrisch. Die beiden anderen sind symmetrisch, die zweite nicht längentreu. Die Grundfigur der ersten Übertragung ist ein infinitesimales Fünfeck mit vier inneren Seiten und einer äußeren, die gegenüber den inneren Seiten von zweiter Ordnung unendlich klein ist; die der beiden anderen Übertragungen ein infinitesimales Parallelogramm mit zwei inneren und zwei äußeren Seiten. Die Änderung der Komponenten eines inneren Vektors bei Herumführung um das Fünfeck (Parallelogramm) führt zum inneren (äußeren) Krümmungstensor der \(V_n^m\). Das zweite Kapitel behandelt ausführlich die Frage, wann zwei \(V_n^m\) bei umkehrbaren Punkttransformationen äquivalent sind, und wann eine \(V_n^m\) derartige nichtidentische Punkttransformationen gestattet. Die Gesamtheit dieser Transformationen kann in beiden Fällen eine unendliche Gruppe bilden. Im zweiten Falle stellt Verf. auch das Analogon der \textit{Killing}schen Gleichungen auf. Von besonderem Interesse ist der Fall zweier (verschiedener oder zusammenfallender) äquivalenter \(V_n^m\), von denen die eine ein System von Kongruenzen mit konstanten Rotationskoeffizienten besitzt:die \(V_n^m\) sind dann gewiß\ bei den Transformationen einer einfach transitiven Gruppe äquivalent. Umgekehrt besitzt eine \(V_n^m\), die eine einfach transitive \(n\)-gliedrige Gruppe \(G_n\) gestattet, ein System von Kongruenzen mit konstanten Rotationskoeffizienten. Schließlich werden die Bedingungen dafür aufgestellt, daß\ eine \(V_n^m\) eine \(G_1\) zuläßt. Das letzte Kapitel ist der \(V_3^2\) gewidmet. Eine \(V_3^2\) gestattet im nichtintegrablen Fall höchstens eine \(G_4\). Verf. bestimmt nacheinander die \(V_3^2\) mit einer \(G_1\) und \(G_2\) und beweist sodann, daß\ eine \(V_3^2\) keine intransitive \(G_3\)zulassen kann. Endlich untersucht er die \(V_3^2\) mit einer \(G_4\). Sie besitzen ein System von Kongruenzen mit konstanten Rotationskoeffizienten. Ihre zweite Grundform ist identisch Null. Ihre Anholonomiekongruenz ist geodätisch, die beiden Fundamentalkongruenzen sind entweder Normalenkongruenzen oder geodätische Kongruenzen. Der äußere Krümmungstensor ist Null, der innere hat höchstens eine - stets konstante - von Null verschiedene Komponente \(\lambda _{12,12}\). Verf. bestimmt alle diese ``\(V_3^2\) konstanter Krümmung'' \((\lambda _{12,12}\gtreqqless 0)\), ihre Kongruenzen und ihre \(G_4\). Den Schluß\ bilden einige Bemerkungen über den integrablen Fall.