Über Drei-Gewebe im vierdimensionalen Raum. (Q2618275)

Drei Scharen zweidimensionaler Flächen im \(R_4\)erfüllen das Axiomensystem für 3-Gewebe von \textit{Thomsen} \((T_{12})\), wobei unter Flächenschar das topologische Bild eines Bündels paralleler Ebenen zu vestehen ist. Die drei Konfigurationen: a) Sechseck-, b) \textit{Reidemeister}-, c) Dreieckkonfiguration erweisen sich (unter Voraussetzung der Anordnung und Stetigkeit) bei 3-Geweben in der Ebene als gleichwertig, haben dagegen im \(R_4\) verschiedene Bedeutung. - Zunächst wird, unter Zurückgreifung auf \(T_{40}\), das vollständige System der topologischen Differentialinvarianten abgeleitet. Das identische Verschwinden der niedrigsten Invarianten (einzeln oder simultan) wird geometrisch gedeutet. Es ergeben sich insbesondere Bedingungen für Sechseckgewebe und für die Überführbarkeit in ein Ebenegewebe, und die Schließungsaxiome werden als nicht äquivalent erkannt. - Zu einem Gewebe lassen sich in invarianter Weise Übertragungen definieren, die sich als \textit{Weyl}sche Übertragungen erweisen. Ihre Integrierbarkeit hat die Sechseckeigenschaft bzw. die Abbildbarkeit auf Ebenenbündel zur Folge. - Führt man in einem analytischen Kurven-3-gewebe der Ebene komplexe Veränderliche ein und spaltet diese in Real- und Imaginärteil auf, so entsteht ein ``2-analytisches'' Gewebe im \(R_4\). Diese besonderen Gewebe werden untersucht. In einem solchen sind - wie in jedem ebenen stetigen 3-Gewebe - die drei Schließungsaxiome äquivalent.