Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 56: Die Kurven-3-Gewebe höchsten Ranges im \(R_3\). (Q2618279)

In einem Gebiet \(G\) des \(R_3\) sei ein Kurven-3-gewebe gegeben durch \(s_i(x,y,z)=\operatorname {const},t_i(x,y,z)=\operatorname {const} (i=1,2,3)\). Unter seinem Rang versteht man die Höchstzahl linear unabhängiger Identitäten für \(x,y,z\) in \(G\) von der Form \[ u(s_1,t_1)+v(s_2,t_2)+w(s_3,t_3)=0. \] Der höchstmögliche Rang ist Fünf. Es werden alle 3-Gewebe vom Höchstrang ermittelt. Sie ergeben sich auf folgende Weise: Man nehme im projektiven Raum von vier Dimensionen eine Hyperfläche dritter Ordnung. Auf ihr liegt eine zweigliedrige Schar reeller Geraden, die zu je dreien in einer Ebene liegen. Diese Ebenen bilden eine dreigliedrige Schar. Bildet man die Geradenschar durch Zentralprojektion auf den dreidimensionalen Raum ab und geht dort zur dualen Figur aus Geraden über, so bildet diese (bis auf topologische Abbildungen) das allgemeinste 3-Gewebe vom Rang Fünf. (Realitätsverhältnisse und gewisse Sonderfälle sind bei der Wahl der Hyperfläche zu beachten.)