Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen. (Q2618287)

Es wird eine große Anzahl von einfachen, aber interessanten Sätzen über konvexe Mengen bewiesen. Der Gesamtinhalt der Dissertation läßt sich im Rahmen eines Referats auch nicht annähernd wiedergeben; es sollen daher einige Sätze und Fragestellungen wiedergegeben werden, die die Art der Untersuchungen kennzeichnen. Kap. I (Die konvexe Hülle einer Punktmenge) geht aus von dem Begriff ``Zentrum von \(m\) Punkten'', d. h. Punkt der konvexen Hülle der \(m\) Punkte. Behandelt wird die Frage, wann ein Punkt der konvexen Hülle einer Menge des \(R_n\) Zentrum von weniger als \(n+1\) Punkten der Menge sein kann. Z. B. zeigt sich, daß\ die Menge der Punkte der konvexen Hülle der beschränkten abgeschlossenen Menge \(M\), die nicht Zentrum von \(n\) Punkten von \(M\) sind, offen ist. Ein ``Stern'' im \(R_n(n\geqq 2)\) mit der Spitze \(P\) besteht aus \(n+1\) Strahlen durch \(P\), auf denen es je einen Punkt gibt derart, daß\^^Mdiese \(n+1\) Punkte zusammen ein \(P\) enthaltendes Simplex erzeugen. Ein Punkt \(P\) von \(M\) besitzt definitionsgemäß\ die Eigenschaft \(E_1\), wenn ein Stern mit der Spitze \(P\) existiert, dessen \((n-1)\)-dimensionale (durch die Strahlen des Sternes bestimmten) ``Seiten'' zu \(M\) fremd sind und \(M\) in \(n+1\) nichtleere Mengen zerlegen. Es zeigt sich nun: Jeder Punkt der konvexen Hülle von \(M\), der nicht Zentrum von weniger als \(n+1\) Punkten ist, besitzt die Eigenschaft \(E_1(n\geqq 2)\). Jeder Punkt der konvexen Hülle einer zusammenhängenden Punktmenge \(M\) ist Zentrum von \(n\) Punkten von \(M\);dasselben gilt, wenn \(M\) höchstens \(n\) Komponenten besitzt. Ist \(M\) offen und besteht es aus höchstens \(n\) \(\varepsilon \)-zusammenhängenden Komponenten, ist ferner der Punkt \(P\) der konvexen Hülle von \(M\) nicht Häufungspunkt von \(M\), so ist er Zentrum von \(n\) Punkten von \(M(n\geqq 2)\). Es werden noch weitere Kriterien dafür angegeben, daß\ ein Punkt der konvexen Hülle Zentrum von \(n\) Punkten ist. Kap. II enthält eine Anwendung eines Satzes von \textit{G. D. Stoelinga} (Proefschrift Groningen 1932; F. d. M. 58), der von der Lage des Schwerpunktes einer \textit{Lebesgue}-integrierbaren Massendichteverteilung handelt. Kap. III enthält eine große Anzahl Sätze über den Zusammenhang zwischen der konvexen Hülle des Schnittes einer Menge \(M\) mit einem linearen Unterraum \(L\) einerseits und dem Schnitt der konvexen Hülle von \(M\) mit \(L\) andererseits. Kap. IV. beschäftigt sich zunächst mit abgeschlossenen beschränkten Mengen \(G\), die eigentlich konvex und die Vereinigung von Vollkugeln mit festem Radius sind. Es zeigt sich, daß\ man in eine (nichtkonvexe) abgeschlossene Menge \(M\) ein aus einem vorgeschriebenen \(G\) durch Translation und Dilatation entstehendes \(G'\) so einzwängen kann, daß\ \(G'\) in seinem Inneren keinen, auf seinem Rand mindestens zwei Punkte von \(M\) enthält und obendrein in seinem Inneren einen vorgeschriebenen Punkt der konvexen Hülle von \(M\), der nicht zu \(M\) selbst gehört. Weiter definiert Verf. verallgemeinerte Kegel und Zylinder im \(R_n\); er geht von einer \(k\)-dimensionalen konvexen abgeschlossenen Menge aus, die er durch Halbstrahlen aus einem (eigentlichen oder uneigentlichen) Punkt projiziert;dieser Prozeß\ kann mehrfach wiederholt werden. Diese Begriffe führen zu Verallgemeinerungen des vorigen Satzes. Kap. V gibt geometrische Beweise zweier Sätze von \textit{Minkowski} über Systeme linearer Ungleichungen.