Proprietà in grande delle linee piane convesse: Sulla curvatura degli archi convessi soggetti a date condizioni agli estremi. I. (Q2618290)

Diese Note enthält eine Reihe neuer Sätze über ebene totalkonvexe Kurvenbögen, deren Beweise an andrer Stelle veröffentlicht werden. Nennt man den Winkel, um den sich die Tangente beim Durchlaufen des Bogens dreht, die Biegung desselben, so werden hier nur Bögen mit einer Biegung \(\geqq \pi \) betrachtet. Haben zwei solche Bögen die Endpunkte \(O,Q\) und in einem derselben die Tangente gemein, und liegen sie auf der gleichen Seite von \(OQ\), so gibt es mindestens ein Punktepaar auf ihnen mit gleicher Tangentenrichtung und gleicher Krümmung, während im übrigen die Krümmungsdifferenz in zwei Punkten gleicher Tangentenrichtung sowohl positive wie negative Werte annehmen muß. Anwendung: Damit eine Kurve \(C'\) sich in einer Eikurve \(C\) frei drehen kann, ist notwendig und hinreichend, daß\ der größte Krümmungsradius von \(C'\) den kleinsten Krümmungsradius von \(C\) nicht übertrifft; \(C\) und \(C'\) haben nur einen Berührungspunkt gemein, es sei denn, daß\ sie Kreisbögen gleicher Krümmung enthalten. Nimmt man zwei konvexe Bögen \(L\) mit den gleichen Endpunkten \(O,Q\) und festen Tangenten \(o,q\) in ihnen, und bezieht man sie durch parallele Tangenten aufeinander, so nimmt wieder die Krümmungsdifferenz in entsprechenden Punkten sowohl positive wie negative Werte an, und es gibt mindestens ein Punktepaar mit gleicher Krümmung. Durch Vergleich mit Kreisbögen folgt also, wenn \(o,q\) parallel sind, mit \(OQ\) den Winkel \(\alpha \) bilden, und die Distanz \(\delta \) aufweisen, für den kleinsten bzw. größten Krümmungsradius \(m(M)\) eines solchen konvexen Bogens: \[ 0<m<\frac {\delta }2<\frac {\delta }{2\sin ^2\alpha }<M, \] und zu allen Werten von \(m,M\) in den angegebenen Grenzen gibt es passende konvexe Bögen \(L\). Schneiden sich \(o,q\) unter dem Winkel \(\omega \), und sind \(h,k\) die Abstände von \(O\) bzw. \(Q\) von \(q\) bzw. \(o\), so verallgemeinert sich jene Ungleichung durch dasselbe Beweisprinzip zu \[ 0<m<\frac h{1+\cos \omega }<\frac {h^2-2hk\cos \omega +k^2}{2h\sin ^2\omega }<M. \]