Proprietà in grande delle linee piane convesse: Le orbiformi e le corrispondenze equilonghe fra ovali. II. (Q2618291)

An einer Eikurve sei \(l\) die Länge, \(d\) bzw. \(D\) die kleinste bzw. größte Breite, \(s\) bzw. \(S\) die kleinste bzw. größte Summe der Krümmungsradien in zwei Gegenpunkten gleicher Tangentenrichtung; dann ist, solange die Breite nicht konstant ist: \[ s<d<\frac l{\pi }<D<S; \] diese fünf Ausdrücke werden bei Kurven konstanter Breite gleich. Zusammen mit den Sätzen der vorangehenden Abhandlung folgt, wenn \(m\) bzw. \(M\) den kleinsten bzw. größten Krümmungsradius bedeuten: \[ m<\frac d2\leqq \frac D2<M; \] diese vier Ausdrücke sind nur im Falle des Kreises gleich. Zwei Eikurven \(C,C'\) können auf unendlich viele Arten biegungstreu aufeinander bezogen werden; ist dabei stets der Abstand paralleler Tangenten an \(C\) gleich dem der entsprechenden Tangenten an \(C'\), so heißt die Abbildung breitentreu (äquilong). Damit eine solche Abbildung zwischen \(C\) und \(C'\) möglich sei, ist notwendig und hinreichend, daß\ die Summe der Krümmungsradien in zwei Gegenpunkten bei der Abbildung ungeändert bleibe; \(C\) und \(C'\) haben dann gleiche Länge. Jede Eikurve gestattet unendlichviele breitentreue Abbildungen, eine sogar mit Mittelpunkt. Die Kurven konstanter Breite \(d\) sind breitentreue Abbildungen eines Kreises, haben also gleiche Länge \(\pi d\), und für sie ist kennzeichnend, daß\ die Summe der Krümmungsradien in zwei Gegenpunkten immer \(d\) ist. Sind \(C,C'\) breitentreu bezogen, so besitzt die Differenz zwischen den Krümmungsradien entsprechender Punkte drei positive Maxima und drei negative Minima; es gibt also sechs entsprechende Punktepaare gleicher Krümmung. Angewandt auf die Gegenpunktabbildung einer Eikurve \(C\) in sich folgt, daß\ auf \(C\) mindestens drei Gegenpunktpaare mit gleicher Krümmung existieren. Die Anwendung auf die Kurven konstanter Breite \(d\) gibt die Existenz von mindestens sechs Punkten mit dem Krümmungsradius \(\tfrac 12 d\); bei letzteren ist jede biegungstreue Abbildung in sich auch breitentreu, und daher gibt es auf jeder solchen Kurve wenigstens sechs Bögen beliebig vorgegebener Biegung, bei deren jedem die Krümmung in beiden Enden gleich ist.