Darstellung der Semi-Vektoren als gewöhnliche Vektoren von besonderem Differentiationscharakter. (Q2618321)

Der Begriff der Semivektoren war aus der Möglichkeit gewonnen worden, die Drehgruppe (\(\mathfrak D\)) aller (homogenen) \textit{Lorentz}transformationen in das Produkt zweier zu ihr isomorpher Untergruppen (\(\mathfrak B\)) und (\(\mathfrak C\)) zu zerlegen derart, daß für die zugehörigen Matrizen \((a_{ik})\), \((b_{ik})\), \((c_{ik})\) die Beziehung \[ a_{ik} = b_{ip}c_k^p \] gilt (vgl. die Verf., Semi-Vektoren und Spinoren, Sitzungsberichte Akad. Berlin 1932, 522-550; F. d. M. 58). Nun besteht für jeden Vektor \((a)\) im orthogonalen Lokalsystem (griechische Indices) die Darstellung \[ a^\sigma = h_s^\sigma a^s\quad \text{bzw.}\quad a_\sigma = h_{\sigma s}a^s,\tag{\(^*\)} \] im \textit{Gauß}schen Koordinatensystem (lateinische Indices) die Darstellung \[ a^s = h_\sigma ^s a^\sigma \quad \text{bzw.}\quad a_s = h_{\sigma s}a^\sigma,\tag{\(^{**}\)} \] wobei \[ h_s^\sigma h_{\sigma t} = g_{st}, \quad h_{\sigma s}h_{\tau }^s = g_{\sigma \tau },\quad g_{\sigma \tau }= \left | \begin{matrix} 1&0&0&0\cr 0&1&0&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&-1\cr \end{matrix} \right |. \] Setzt man analog einen Lokalsemivektor erster Art \(\psi ^{\overline \sigma }\) mit Hilfe der (komplexen) Matrix \(k_{\overline {\sigma s}}\) in Beziehung zu einem Raumsemivektor \(\psi _{\overline s}\): \[ \psi _{\overline s} = k_{{\overline \sigma }{\overline s}}\psi ^{\overline \sigma },\quad \psi _{\overline \sigma } = k_{{\overline \sigma }{\overline s}}\psi ^{\overline s}, \] so weisen, wie gezeigt werden kann, bei Koordinatenwechsel Raumsemigrößen und gewöhnliche Vektoren keinerlei verschiedenes Verhalten auf. Dagegen erfordert das Äquivalenzpostulat \[ \psi _{\overline s; r} = 0\quad \text{gleichbedeutend mit}\quad \psi ^{\overline \sigma }_{; r} = 0 \] das Verschwinden des ersten Terms der rechten Seite in \[ \psi _{\overline s; r} = k_{{\overline \sigma }{\overline s};r}\psi ^{\overline \sigma } + k_{{\overline \sigma }{\overline s}}\psi ^{\overline \sigma }_{;r}, \] also das der Koeffizienten \[ k_{{\overline \sigma }{\overline s};r} = k_{{\overline \sigma }{\overline s},r} - \Gamma _{{\overline \sigma }r}^{\overline \tau } k_{{\overline \tau }{\overline \sigma }} - \Gamma _{{\overline s}r}^{\overline w} k_{{\overline \sigma }{\overline w}}=0. \] Aus diesen Relationen lassen sich die Größen \(\Gamma _{{\overline s}r}^w\) des Raumsemivektors berechnen, da die Größen \(\Gamma _{{\overline \sigma }r}^{\overline \tau }\) nach den früheren Ergebnissen der beiden Verf. (vgl. das angegebene Zitat) letzten Endes aus der quadratischen Fundamentalform des Kontinuums gewonnen werden können. Nachdem die Verf. so den Charakter der Semivektoren neu beleuchtet haben, behandlen sie im Anschluß daran das Verhalten höherer schiefsymmetrischer Semitensoren, insbesondere den Semitensor \[ v_{{\overline \sigma }{\overline \tau }}=-\frac {i}{2} \eta _{{\overline \sigma }{\overline \tau } {\overline \varkappa }{\overline \lambda }}v^{{\overline \varkappa } {\overline \lambda }}\quad (v_{{\overline \sigma }{\overline \tau };r}=0) \] unter demselben Gesichtspunkt, sowie die Zuordnung der gemischten (Lokal- bzw. Raum)-tensoren \(E_{\alpha {\overline \sigma }{\overline {\overline \tau }}}\) und \(E_{i\overline s{\overline {\overline t}}}\) unter spezieller Wahl des \(k_{{\overline \sigma }{\overline s}}\)-Beins (eine besondere Beindrehung bringt das \(h\)-Bein mit dem \(k\)-Bein zur Deckung). Schließlich wird die Berechnung der Dreizeigersymbole \(\Gamma _{{\overline s}r}^{\overline p}\) für die Ableitungen der Raumsemigrößen durchgeführt und die Transformation dieser Symbole bei Abänderungen des Fernparallelismus angegeben.