On certain periodic motions of dynamical systems with more than two degrees of freedom. (Q2618369)

Das \textit{Hamilton}sche Differentialgleichungssystem der zu einer gegebenen periodischen Bewegung benachbarten Bewegung eines mechanischen Systems von \(n+1\) Freiheitsgraden kann mit Hilfe des Energieintegrals und unter Einführung neuer Variablen auf ein kanonisches System von der Ordnung \(2n\) \[ \frac {dx_j}{dt} = \frac {\partial H}{\partial y_j}, \quad \frac {dy_j}{dt} = -\frac {\partial H}{\partial x_j}\quad (j=1,2,\dots,n)\tag{1} \] zurückgeführt werden. \(H\) ist eine analytische Funktion von \(x_1,y_1,\dots,x_n,y_n,t\), weist in \(t\) die Periode \(2\pi \) auf und kann so normiert werden, daß sie in der Gestalt erscheint \[ H=\sum \limits _{j=1}^n \lambda _j u_j +P_\mu (u_1,\dots,u_n)+k_\mu \tag{2} \] mit \[ u_j=x_jy_j. \] Setzt man \[ c_{jk}(u)=\frac 1{2\pi i}\frac {\partial ^2P_\mu }{\partial u_j\partial u_k},\tag{3} \] so kann man die in vorliegender Arbeit gewonnenen Sätze folgendermaßen aussprechen: a) In der Nähe einer periodischen Bewegung von allgemein stabilem Typus sind ``im allgemeinen'' unendlich viele stabile und unendlich viele instabile Bewegungen mit rein reellen charakteristischen Exponenten vorhanden, vorausgesetzt, daß die symmetrische Matrix \[ \bigl (c_{jk}(0)\bigr )\tag{4} \] die Matrix der Koeffizienten einer definiten quadratischen Form ist. Als Index einer instabilen periodischen Bewegung, zu der nur rein reelle und rein imaginäre charakteristische Exponenten gehören, bezeichnet Verf. die Anzahl der Paare von reellen charakteristischen Exponenten. Dann gilt folgender Satz: b) Unter den Voraussetzungen des unter a) zitierten Satzes gibt es ``im allgemeinen'' eine unendliche Anzahl von instabilen periodischen Bewegungen von jedem Index \(j\) \((j=1,2,3,\dots,n)\). Läßt man jetzt die Voraussetzung fallen, daß (4) die Matrix der Koeffizienten einer definiten quadratischen Form ist, dann gilt noch immer der Satz: c) In der Nachbarschaft einer periodischen Bewegung von allgemein stabilem Typus gibt es ``im allgemeinen'' unendlich viele instabile periodische Bewegungen, deren charakteristische Exponenten reell und rein imaginär sind und die den Index \(\frac 12(n\pm s)\) haben, wo \(s\) der Trägheitsindex der quadratischen Form mit den Koeffizienten \(c_{jk}(0)\) ist. Der schwache Punkt der Arbeit liegt, wie Verf. selbst bemerkt, darin, daß man kein einfaches Kriterium dafür angeben kann, wann der ``allgemeine Fall'' eintritt.