Perfezionamento della regola di equivalenza fra moti einsteiniani e moti newtoniani. (Q2618631)

Bekanntlich erhält man für Geschwindigkeiten \(v\), die gegenüber der des Lichtes \(c\) sehr klein sind, aus den Variationsprinzipien \[ \delta \int L_0 dt=0 \; \text{bzw.} \; \delta \int ds=0 \quad (L_0 =\frac 12 v^2 +U) \] der \textit{Newton}schen bzw. \textit{Einstein}schen Mechanik mit großer Genauigkeit äquivalente Bewegungsgleichungen. Verf. hatte diese Äquivalenz gelegentlich unter Verwendung zweier Potentiale \(U\) und \(U_1\) und zweierlei Zeitvariablen \(t\) und \(t_1\) näher studiert und den Zusammenhang zwischen diesen Größen angegeben (1926; F. d. M. 52, 926 (JFM 52.0926.*)). Dabei hatte sich auf zweiter Approximationsstufe das Bogenelement \[ ds^2=(1-2\varphi ) c^2 dt^2 -(1-2\gamma ) d\ell _0^2, \; \gamma =\frac {U}{c^2}, \; \varphi =\gamma -\gamma ^2 \] ergeben. Daraus folgt jetzt nach einiger Rechnung: \[ \begin{gathered} c ds=c^2 dt-(L_0 +\mathfrak {P}) dt, \\ \mathfrak {P}\equiv c^2 \left \{ \gamma \left ( \frac {v^2}{c^2} -\gamma \right ) +\frac 12 \left ( \frac 12 \frac {v^2}{c^2} -\gamma \right )^2 + \gamma \frac {v^2}{c^2} \right \} \equiv \frac {3U^2}{c^2} +4\frac {E_0}{c^2} U+\frac 12 \frac {E^2_0}{c^2} \end{gathered} \] und an Stelle von \(\delta \int ds=0\) ergibt sich das Variationsprinzip: \[ \delta \int (L_0 + \mathfrak {P}) dt=0. \] Der Summand \(\frac 12 \frac {E^2_0}{c^2}\) verhält sich, wie Verf. zeigt, näherungsweise konstant, derart daß als \textit{Lagrange}sche Funktion der \textit{Einstein}schen Kinematik in dieser Näherung \[ L=\frac 12 v^2 +U_1, \; U_1 = \left ( 1+4\frac {E^2_0}{c^2} \right ) U+3\frac {U^2}{c^2} \] gesetzt werden kann. Damit ist aber die gesuchte Äquivalenz erwiesen. Denn \(L\) ist offensichtlich \textit{Lagrange}funktion für die \textit{Newton}sche Kinematik eines materiellen Punktes im Kraftfeld vom Potential \(U_1\). Dabei wurde überdies stets dieselbe Zeitvariable \(t\) beibehalten. Zum Schluß vergleicht Verf. diese Ergebnisse mit seinen früher gefundenen.