Le théorème de probabilité de Poincaré généralisé au cas de plusieurs variables indépendantes. (Q2619037)

In einer Urne sind Kugeln von \(m\) verschiedenen Farben mit den Grundwahracheinlichkeiten \(p_1\), \(p_2\), \dots, \(p_m\) enthalten. Es ist \(p_1+p_2+\cdots +p_m=1\). Es wird nach der Wahrscheinlichkeit \(P\) gefragt, daß in \(n\) Ziehungen, wobei nach jeder Ziehung die gezogene Kugel zurückgelegt wird, unter den gezogenen Kugeln mindestens einmal jede Farbe vertreten ist. Es ergibt sich \[ P=\sum _{r_1,r_2,\cdots,r_m}\frac {n!}{r_1!r_2!\cdots r_m!}p^{r_1}_1p^{r_2}_2\cdots p^{r_m}_m \] wobei jedes \(r_i\) die Werte 1, 2, \dots, \(n\) durchläuft und \(r_1+r_2+\cdots +r_m=n\) ist. Nach den Rechenregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung folgt \[ P=1-\sum _i(1-p_i)^n+\sum _{i,k}(1-p_i-p_k)^n-\sum _{i,k,l}(1-p_i-p_k-p_l)^n\cdots. \] Im Falle lauter gleicher Wahrscheinlichkeiten \(p_i=1/m\) folgt \[ P=\frac 1{m^n}\sum _{x=1}^m (-1)^{m-x}\binom mx x^n=\frac {m!}{m^n}S^m_n, \] wobei die \(S^m_n\) die bekannten \textit{Stirling}schen Zahlen zweiter Gattung sind.