Su un teorema relativo alla legge uniforme dei grandi numeri. (Q2619039)

\(X_1\) \(X_2\), \(X_3\), \dots, \(X_n\), \dots \ sei eine unbegrenzte Folge von untereinander unabhängigen Zufallsvariablen, die bei einem Versuch z. B. die Werte \(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x_n\), \dots \ annehmen mögen. Sei ferner der Mittelwert für jedes \(X_n\) \(M(x_n)=0\), und sei \(M(x_n^n)=a_n\). Ferner sei gesetzt \(A_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\), \(\bar A_n=\frac 1n A_n\) und für \(k>2\): \(M(|x_n|^k)=b_{nk}\). \(B_{nk}=b_{1k}+b_{2k}+\cdots +b_{nk}\), \(\bar B_{nk}=B_{nk}\); \(x_{(n)}=x_1+x_2+\cdots +x_n\). Dann gilt der von \textit{Cantelli} bewiesene Satz. Theorem A: Angenommen, man kann für irgendeinen Wert von \(k\), der der Bedingung genügt \(2<k\leq 3\), zwei positive Zahlen \(\alpha \) und \(\beta \) derart finden, daß \(a_n>\alpha \) und \(b_{nk}<\beta \). Dann geht die Wahrscheinlichkeit des Erülltseins aller Ungleichungen \[ \frac {|x_n|}{\sqrt {2A_n}}<\sqrt {\log _2 n+c\log _3 n} \] für jedes \(n>n_0\) gegen 1 für \(n_0\to \infty \), wenn \(c>3/2\), und ist gleich 0 wenn \(c\leq 1/2\); für alle \(n_0\). In diesem Theorem sind die Veränderlichen \(X_{(i)}\) nicht voneinander unabhängig. Verf. leitet ein Theorem für den Fall der Unabhängigkeit ab, welches lautet: Theorem B: Angenommen, man kann eine Konstante \(K\) finden, so daß für alle \(n\) gelte \[ \varrho _{n,5}=\frac {\bar B^{1/5}_{n5}}{\bar A^{1/5}_n}<K. \] Dann geht die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Erfülltsein aller Ungleichungen \[ \frac {|x_n|}{\sqrt {2A_n}}<\lambda _n\quad (\lambda _n>0) \] für alle \(n>n_0\) und \(n_0\to \infty \) gegen 1, falls die Reihe \(\sum _{n=n_0}^\infty \frac 1{\lambda _n}e^{-\lambda _n^2}\) konvergiert, und ist gleich 0, falls die Reihe divergiert für jedes \(n_0\). Beide Theoreme werden für den Fall der einfachen \textit{Bernoulli}-Wahrscheinlichkeit erläutert. Der Beweis für das Theorem B wird ausführlich gebracht.