Statistical analysis of one-dimensional distributions. (Q2619074)

Verf. prüft von einem neuen und interessanten Standpunkt aus die Darstellung von \(n\) beliebigen Daten \(x_i\) durch eine Häufigkeitskurve \(\varPhi (x)\). Es sei \(\psi (y)\) die inverse Funktion von \[ F(x)=\int _{-\infty }^x\varPhi (x)dx. \] Dann werden (im Anschluß an \textit{A. Ekke}, Anpassung von Verteilungsfunhtionen an Beobachtungssysteme. Diss. Kiel 1936. F. d. M. 62) die \(n\) Werte von \(x\) \[ \xi _j=\psi \Bigl (\frac {2j-1}{2n}\Bigr )\quad (j=1,2,\dots,n) \] als beste Werte von \(x\) für eine Probe von \(n\) bezeichnet; es werden einleuchtende Gründe für diese Wahl angeführt. Verf. schlägt vor, \(\varPhi (x)\) für praktische Zwecke durch \(\varPhi (\xi _i)\) zu ersetzen. Wenn man die \(n\) Vektoren \[ \xi ^{(i)}\equiv [\xi _1^i,\xi _2^i,\dots,\xi _n^i]\quad (i=0,1,\dots,n-1) \] normiert und orthogonalisiert, so erhält man die Vektorbasis \(\eta ^{(i)}\) und kann einen beobachteten Vektor \(x\) (Probe von \(n\) Werten) in der Form \[ x=a_0\eta _0+a_1\eta _1+\cdots a_k\eta _k \] ausdrücken die die beste Approximation der Ordnung \(k\) gibt. Die Koeffizienten \(a_i\), die Verf. \textit{Tschebyscheff}sche Koeffizienten nennt, geben das Mittel, die Dispersion, die relative Schiefheit, den relativen Exzeß (bezüglich des gewählten Typs \(\varPhi (x)\)) usw., und transformieren sich fast invariant, wenn \(x\) linear transformiert wird. Koeffizienten \(M_k\) für die Güte der Anpassung werden entwickelt, nämlich \[ M_k=\Bigl (\sum _1^k a_i^2\Bigr )^{1/2}\Bigl (\sum _1^n x^2_j-a^2_0\Bigr )^{-1/2}. \] Diese Gedankengänge werden auf nach Klassen gruppierte Häufigkeiten ausgedehnt, und es werden ins Einzelne gehende Beispiele ausgearbeitet, um den Orthogonalisierungsprozeß zu zeigen; die Resultate werden mit den bei herkömlnlicherem Vorgehen erhaltenen verglichen.