Geometria proiettiva non euclidea. (Q2619285)

Verf. gibt einen Aufbau der ``absoluten'' oder ``nichteuklidischen'' projektiven Geometrie, d. h. einer projektiven Geometrie, die von der Gültigkeit des \textit{Euklid}ischen Parallelenaxioms unabhängig ist und also nur auf den ersten drei Axiomengruppen I, II, III der \textit{Hilbert}schen Grundlagen aufbaut: Axiome der Verknüpfung, der Anordnung, der Kongruenz. Die Konstruktion des Verf. beruht auf den Eigenschaften der Gruppe der ebenen Bewegungen der absoluten Geometrie. Verf. deutet die Bewegungen (im engeren Sinne, also ``direkte Kongruenzen'') als Punkte des dreidimensionalen Raumes; ein spezieller Punkt \(E\) entspricht der Identität. Verf. deutet die Gesamtheiten von Bewegungen, die einen Punkt \(P_1\) in einen anderen \(P_2\) überführen (Gesamtheiten, die unverständlicherweise auf S. 224 als ``Untergruppen'' bezeichnet werden), als Geraden des Raumes. Für \(P_1 = P_2\) sind diese Gesamtheiten Rotationsgruppen, und die entsprechenden Geraden gehen von \(E\) aus. Schließlich deutet Verf. die Gesamtheiten solcher Bewegungen, die als Produkt einer festen ``Inversion'' (d. h. Umlegung) mit einer Spiegelung (in bezug auf eine Gerade) darstellbar sind, als Ebenen des Raumes. Er zeigt sodann, daß\ das so konstruierte räumliche Modell der Bewegungen allen Axiomen der projektiven Geometrie genügt, also auch dem \textit{Desargues}schen und \textit{Pascal}schen Satz. Nun ist das System der durch \(E\) gehenden Geraden und Ebenen projektiv auf die Ebene der absoluten Geometrie bezogen; die projektive Geometrie wird somit auf dieser Ebene aufgebaut. Verf. gelangt auch zu dem für denselben Gegenstand von \textit{G. Hessenberg} und \textit{J. Hjelmslev} benutzten Weg, wobei er sich auf zwei interessante Sätze von \textit{Hessenberg} stützt.