Nuova costruzione del decagono regolare indipendente dall' equivalenza e dalla similitudine. (Q2619331)

Durch die Endpunkte einer beliebigen Strecke \(AB\) wird ein Kreis \(\alpha \) gelegt. An diesen zieht man in einem beliebigen Punkt \(P\) die Tangente und trägt auf dieser die Strecke \(PQ = AB\) ab. Durch \(Q\) legt man den zu \(\alpha \) konzentrischen Kreis. Dieser schneidet die Verlängerung von \(AB\) über \(B\) hinaus in \(C\). Über \(BC\) konstruiert man das gleichschenklige Dreieck \(BCT\) derart, daß\ \(CT = AB\) ist. Dann ist \(\measuredangle BTc = 36^0\) und daher \(CT\) die Seite des regelmäßigen Zehnecks im Kreise mit dem Halbmesser \(AC\). Der Beweis beruht auf der bekannten Eigenschaft der Potenzlinie zweier Kreise, der Ort der Ausgangspunkte gleich langer Tangenten an beide Kreise zu sein. Legt man nämlich durch \(A, B, T\) den Kreis \(\alpha '\), so berührt dieser wegen \(CT = AB\) nach jener Eigenschaft \(CT\) in \(T\), und es ist \(\measuredangle BTC = \measuredangle BAT = \frac {1}{2} \measuredangle TBC = \frac {1}{2} \measuredangle TCB = \frac {1}{5} l80^0\). Jene grundlegende Eigenschaft der Potenzlinie wird nun hier, und das ist der springende Punkt des Beweises, auf den Satz von der Gleichheit der von einem Punkt an eine Kugel gelegten Tangenten zurückgeführt; also ohne Ahnlichkeit und ohne Flächeninhaltslehre, aber dafür mit Hilfe räumlicher Betrachtungen, bewiesen: Schneiden sich zwei Kreise \(\alpha \) und \(\beta \) in \(A\) und \(B\), und gehen von einem Punkt \(P\) der Geraden \(AB\) an die Kreise die Tangenten \(PM\) und \(PN\) und an den Kreis über dem Durchmesser \(AB\) die Tangente \(PQ\), so drehe man diesen dritten Kreis um \(AB\) um einen Winkel von \(90^0\). Dann stellt dieser Kreis in der neuen Lage den Durchschnitt der beiden Kugeln mit dem Hauptkreisen \(\alpha \) und \(\beta \) dar, und nach jenem Satz über die Kugeltangenten ist \(PM = PQ = PN\).