Sopra alcune configurazioni spaziali. (Q2619412)

Auf jeder Seite eines \(n\)-Ecks mit Ecken \({\mathfrak x}_i\) \((i=1,\dots,n)\) liege ein weiterer Punkt: \({\mathfrak g}_i = {\mathfrak x}_i + u_i {\mathfrak x}_{i+1}\), \(i\operatorname {mod} n\). Dann ist die Bedingung \(u_1u_2\dots u_n=1\) unabhängig von der Normierung der Vektoren und bedeutet bekanntlich für \(n=3\), daß die Geraden \({\mathfrak x}_1{\mathfrak g}_2\); \({\mathfrak x}_2{\mathfrak g}_3\); \({\mathfrak x}_3{\mathfrak g}_1\) durch einen Punkt gehen (\textit{Ceva}), für ein windschiefes Viereck, daß \({\mathfrak g}_1{\mathfrak g}_3\) und \({\mathfrak g}_2{\mathfrak g}_4\) sich treffen (vgl. \textit{Blaschke}, 1930; F. d. M. \(56_{\text I}\), 612). Verf. deutet die Bedingung für \(n=5\); sie bedeutet, daß die Geraden \({\mathfrak x}_i{\mathfrak g}_{i+2}\), die jeden Eckpunkt mit dem Punkt auf der Gegenseite des Fünfecks verbinden, einer linearen Kongruenz angehören (Voraussetzung: keine drei der Punkte \({\mathfrak x}_i\) liegen in einer Geraden). Ein Steckenkomplex sei topologisches Abbild des Kantenkomplexes von einem Polyeder mit \(k\) Seitenflächen. Auf jeder Strecke des Komplexes liege ein weiterer Punkt. Wenn dann in \(k-1\) ``Seitenflächen'' diese Punkte die obige ausgezeichnete Lage haben, so auch in der letzten. Dabei wird nur benutzt, daß man die Seitenflächen so umlaufen kann, daß jede Kante zweimal, in entgegengesetztem Sinne, durchlaufen wird. Seien \({\mathfrak x}_1\) \({\mathfrak x}_2\) \({\mathfrak x}_3\) und \(\bar {\mathfrak x}_1\) \(\bar {\mathfrak x}_2\) \(\bar {\mathfrak x}_3\) zwei perspektive Dreiecke, auf ihren Seiten \({\mathfrak x}_1\) \({\mathfrak x}_{i+1}\) bzw. \(\bar {\mathfrak x}_i\) \(\bar {\mathfrak x}_{i+1}\) liegen die Punkte \({\mathfrak g}_i\) bzw. \(\bar {\mathfrak g}_i\), die Verbindungsgerade von \({\mathfrak g}_i\) und \(\bar {\mathfrak g}_i\) gehe durch den Diagonalenschnittpunkt des Vierecks \({\mathfrak x}_i\) \({\mathfrak x}_{i+1}\) \(\bar {\mathfrak x}_{i+1}\) \(\bar {\mathfrak x}_i\). Wenn dann die Punkte \({\mathfrak g}_i\) in ihrem Dreieck ``\textit{Ceva}-Lage'' haben, so auch die Punkte \(\bar {\mathfrak g}_i\), und umgekehrt. Die dadurch entstehende eineindeutige Korrespondenz der ``\textit{Ceva}-Punkte'' in beiden Dreiecken ist eine quadratische; \({\mathfrak x}_1\) \({\mathfrak x}_2\) \({\mathfrak x}_3\) und \(\bar {\mathfrak x}_1\) \(\bar {\mathfrak x}_2\) \(\bar {\mathfrak x}_3\) sind die Fundamentaldreiecke.