Sui moduli delle superficie algebriche irregolari. (Q2619506)

\textit{Enriques} (1908; F. d. M. 39, 697 (JFM 39.0697.*)) führte bei einer, keiner geradlinigen Fläche äquivalenten algebraischen Fläche eine Invariante \(\vartheta \) ein und beweis, daß jede solche Fläche mit den Geschlechtern \(p_a\), \(p_g\), \(p^{(1)}\) einer von \[ M=10 p_a-p_g-2p^{(1)}+12+\vartheta \tag{1} \] Moduln abhängigen Flächenklasse mit den gleichen Werten der genannten Invarianten angehört, und daß immer \(\vartheta \geq 0\) und bei einer allgemeinen Klasse regulärer Flächen sogar \(\vartheta \geq p_g\) ist. Hier wird zunächst für irreguläre Flächen \[ \vartheta \geq 2p_g-p_a-1 \] bewiesen. Gestattet die Fläche \(\varrho \)-fach unendlich viele birationale Transformationen in sich, so ist in (1) rechts \(\varrho \) hinzuzufügen. Setzt man also \[ \tau =\vartheta -2p_g+p_a+1, \] so ist \[ M=p_g+9p_a-2p^{(1)}+11+\varrho +\tau \] und \(\tau \geq 0\). Dieser Mindestwert wird bei den hyperelliptischen Flächen erreicht. Nach oben wird die Beschränkung \[ \tau \leq 2(p^{(1)}-p_g-5p_a-9)+6\pi \] abgeleitet. Darin bedeutet \(\pi \) das Geschlecht eines reinen, mindestens dreifach unendlichen, das kanonische umfassenden linearen Kurvensystems auf der Fläche, z. B. das kleinstmögliche Geschlecht eines solchen Systems.