Le coniche focali di Dupin dal punto di vista della geometria algebrica. (Q2619517)

Das Problem, den Ort der Raumpunkte zu bestimmen, von denen aus ein gegebener Kegelschnitt durch einen Rotationskgegel zweiter Ordnung projiziert wird, wird hier vom Standpunkt der algebraischen Geometrie aus untersucht. Die Frage reduziert sich auf elementare Eigenschaften der Raumkurve vierter Ordnung erster Art, d. h. der Raumkurve, die den Durchschnitt zweier Flächen zweiter Ordnung bildet. Die beiden Flächen bestimmen ein Flächenbüschel; in diesem sind vier Kegel enthalten. Die Scheitel dieser Kegel sind die Ecken eines Vierflachs, das bezüglich der Flächen des Büschels autokonjugiert ist. Jede Ecke und die Gegenfläche bestimmen eine Homologie, die die Raumkurve in sich selbst überführt. Die weitere Verfolgung dieser Betrachtung führt zu dem Satz: Der Ort der Raumpunkte, aus denen ein Kegelschnitt \(C_\alpha \) nach einem Kegel projiziert wird, der einen zweiten Kegelschnitt \(C_\beta \) doppelt berührt, setzt sich aus zwei andern Kegelschnitten \(C_\gamma \) und \(C_\delta \) zusammen, und die Gruppe der vier Kegelschnitte ist so beschaffen, daß aus den Punkten eines von ihnen jeder der drei andern durch einen Kegel projiziert wird, der jeden der beiden letzten Kegelschnitte doppelt berührt. Aus diesem Satze folgt durch metrische Spezialisierung der bekannte Satz von \textit{Dupin} über die Fokalkegelschnitte.