Die Hauptachsenflächen der Büschelscharen aus den einscharig in einer lienaren Strahlenkongruenz enthaltenen Flächen zweiten Grades. (Q2619523)

Der Verf. entwickelte in zwei Abhandlungen: ``Die Polarität als Grundlage in der Geometrie der linearen Strahlenkongruenz'' (M. Z. 33 (1931), 733-790; F. d. M. 57) und ``Die Metrik im polaren \(F^2\)-Gebüsche einer linearen Strahlenkongruenz'' (M. Z. 36 (1932), 35-98; F. d. M. 58) die projektive und die metrische Theorie des polaren \(F^2\)-Gebüsches der \(\infty ^3\) einscharig in der Kongruenz enthaltenen Flächen zweiten Grades. In der vorliegenden Arbeit wird die synthetische Theorie der linearen Kongruenz auf dieser Grundlage in beiden Richtungen ein großes Stück vorwärts getrieben. Für den Gebüschverband der \(\infty ^3\) einscharig in der Kongruenz \(C_1^1\) enthaltenen Flächen zweiten Grades spielt naturgemäß die Fluchtebene \(\gamma \) der Kongruenz eine entscheidende Rolle. Ihre Punkte sind die Mittelpunkte jener Flächen, jeder Punkt Mittelpunkt von \(\infty ^1\) Flächen. Diese \(\infty ^1\) Flächen bilden eine Büschelschar konzentrischer Flächen. Jede Gerade \(t\) der Fluchtebene trägt die Mittelpunkte von \(\infty ^2\) einscharig in \(C_1^1\) enthaltenen Flächen zweiten Grades. Diese bilden ein Bündelheer solcher Flächen, und die Gerade \(t\) ist die ``Zentragerade'' des Bündelheeres. Das Bündelheer umfaßt \(\infty ^2\) Büschelscharen von Flächen zweiten Grades, deren Mittelpunkte die Zentragerade erfüllen. Darunter sind \(\infty ^1\) Büschelscharen konzentrischer Flächen. Das Bündelheer läßt sich durch diese Büschelscharen konzentrischer Flächen erschöpfen. Der Gebüschverband aller in \(C_1^1\) enthaltenen Flächen zweiten Grades kann aus \(\infty ^2\) Bündelheeren mit je einer Zentrageraden zusammengesetzt werden. Die Zentrageraden sind die Strahlen der Fluchtebene. In der Polarentheorie der linearen Kongruenz ist jeder einscharig in \(C_1^1\) enthaltenen Fläche zweiten Grades als Polfläche ein Bündelheer solcher Flächen als Polar-\(F^2\)-Bündel zugeordnet. Dabei entsprechen den \(\infty ^2\) Paraboloiden als Polflächen die \(\infty ^2\) Bündelheere mit Zentrageraden als Polarbündel. In der Polarentheorie ist jedem Büschel von Flächen zweiten Grades ein anderes Büschel reziprok polar. Dabei entspricht jeder Büschelschar konzentrischer Flächen eine Büschelschar von Paraboloiden. Die Hauptachsen der einscharig in der Kongruenz enthaltenen Flächen zweiten Grades bilden bekanntlich einen quadratischen Strahlenkomplex, den Hauptachsenkomplex. Nunmehr werden die ``Hauptachsenflächen'' untersucht. Ihre Regelscharen bestehen aus den Hauptachsen der Flächen einer Büschelschar; sie sind also Komplexflächen des Hauptachsenkomplexes. Auf Grund des Vorhergehenden ergeben sich folgende für die Theorie des Hauptachsenkomplexes wichtigen Resultate: Die Hauptachsen einer Büschelschar konzentrischer Flächen zweiten Grades erfüllen einen Kegel zweiter Ordnung als Hauptachsenfläche der Büschelschar. Eine Büschelschar von Flächen zweiten Grades mit einer eigentlichen Zentrageraden \(t\) hat zur Hauptachsenfläche eine biquadratische Regelfläche \(T^4\) mit \(t\) als Gerade dreifacher Punkte. Die Symmetrieebenen der Büschelscharflächen berühren \(T^4\) in Punktepaaren. Sie erfüllen ein gleichseitig parabolisches Ebenengewinde dritter Ordnung. Im Hauptachsenkomplex der einscharig in \(C_1^1\) enthaltenen Flächen zweiten Grades liegen die Regelscharen von \(\infty ^4\) biquadratischen Regelflächen. Jede eigentliche Gerade der Fluchtebene ist die gemeinsame Gerade dreifacher Punkte von \(\infty ^2\) solcher Regelscharen. Dem gleichseitigen Fokalparaboloid der Kongruenz sind \(\infty ^4\) gleichseitig parabolische Ebenengewinde dritter Ordnung umbeschrieben. - Bei einer Büschelschar von Paraboloiden erfüllen die eigentlichen Hauptachsen der Paraboloide die Regelschar einer kubischen Regelfläche. Unter den \(\infty ^2\) Hauptachsenflächen dieser Art gibt es ein Zylindroid. Es ist die Hauptachsenfläche der in der Kongruenz einscharig erhaltenen gleichseitigen Paraboloide. Neue projektive und metrische Theoreme über die lineare Strahlenkongruenz und ihren Hauptachsenkomplex ergeben sich nebenher in großer Menge.