Sur les coordonnées polaires sur une surface. (Q2619550)

Eine Parameterdarstellung einer \(V_2\) in \(R_3\) ist von der Klasse \(C^n\) \((n\geq 1)\) in einem Gebiet \(D\), wenn die Parametergleichungen in diesem Gebiet stetige partielle Ableitungen \(n\)-ter Ordnung haben und der Rang der Transofrmationsmatrix zwei ist. Ist die Klasse \(C^1\), so gibt es einen Fundamentaltensor auf der Fläche; ist die Klasse \(C^2\), so gibt es Übertragungsparameter auf der Fläche. Die Bestimmung des zweiten Fundamentaltensors und der Krümmungsgröße gelingt erst, wenn die Klasse \(C^3\) ist. Ist die Klasse \(C^3\), so kann man, ausgehend von den geodätischen Linien durch einen bestimmten Punkt \(P\) und der auf diesen Linien gemessenen Länge, Polarkoordinaten \(s\), \(\theta \) einführen. Es gilt dann der Satz, daß die Fläche in bezug auf diese Polarkoordinaten von der Klasse \(C^1\) ist. Dies läßt sich verallgemeinern: Ist die \(V_2\) von der Klasse \(C^{n+2}\), so ist sie in bezug auf Polarkoordinaten von der Klasse \(C^n\). Ist die \(V_2\) von der Klasse \(C_4\) bzw. \(C^5\) bzw. \(C^6\), so wird bewiesen, daß \[ \lim \limits _{s=0} \frac {\partial \sqrt g}{\partial s}=1,\quad \text{bzw. } \lim \limits _{s=0}\frac {\partial ^2\sqrt g}{\partial s^2}=0,\quad \text{bzw. }\lim \limits _{s=0}\frac {\partial ^3\sqrt g}{\partial s^3}=-K_0 \] ist, wo \(K_0\) die \textit{Gauß}sche Krümmung in \(P\) darstellt.