Curve chiuse a parallelismo monodromo sopra la sfera. (Q2619553)

Verf. beweist folgenden Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Parallelverschiebung auf einer Kugel längs eines geschlossenen Umlaufs \(T\) (einer einem Großkreis homöomorphen Kurve) monodrom sei - d. h., daß die verschobene Richtung in der Endlage mit der Ausgangsrichtung übereinstimmt - ist, daß \(T\) die Kugel in zwei Teile gleichen Flächeninhalts zerlegt. Der Beweis stützt sich auf die Bemerkung, daß, wenn man mit \(\gamma \) die geodätische Krümmung im allgemeinen Punkt von \(T\), mit \(ds\) das Bogenelement, mit \(\psi \) den Neigungswinkel der parallel verschobenen Richtung gegen \(T\) bezeichnet, gilt: \[ d\psi =-\gamma ds\tag{1} \] (wobei das Vorzeichen von \(\gamma \) geeignet zu wählen ist, d. h. der Sinn der Normalen auf \(T\) in der Fläche); Verf. bedient sich dann der Beziehung der Kugel auf ein geographisches Koordinatensystem. Das Resultat könnte man auch aus der bekannten \textit{Gauß-Bonnet}schen Integralformel \[ \iint \limits _G Kdo=2\pi -\int \gamma ds\tag{2} \] ableiten, wobei man das Integral links über eines der Gebiete \(G\) zu erstrecken hat, in die \(T\) die Kugel teilt, nämlich über dasjenige, nach dem die Normale auf \(T\) in der Fläche weist. (1) und (2) geben nämlich, wenn man der Einfachheit wegen den Radius der Kugel gleich 1 setzt und den Flächeninhalt von \(G\) mit \(S\) bezeichnet: \[ S=2\pi -\int \limits _T \gamma ds,\tag{3} \] so daß also die Bedingung \(\int \limits _Td\psi =\int \limits _T \gamma ds=0\), die die Monodromie der Parallelverschiebung längs \(T\) ausdrückt, gerade \(S=2\pi =\) der Hälfte der Kugelfläche ergibt (und umgekehrt). Aber der Beweis des Verf. ist dadurch interessant, daß er nicht die Eigenschaften der Krümmung der Fläche heranzieht, sondern nur das Einfachste über Parallelverschiebung. Als Folgerung aus seinem Ergebnis und also auf elementarem Wege findet Verf. einen Satz von \textit{Jacobi} wieder, den kurz vorher \textit{W. Fenchel} auf anderem Wege bewiesen hat (1934; F. d. M. \(60_{\text I}\), 611); dieser hat den Satz in der Form ausgesprochen: Das sphärische Bild einer geschlossenen sphärischen Kurve \(C\) teilt die Kugel in zwei gleiche Teile. Verf. beweist auch, daß der Winkel der Parallelverschiebung bezüglich eines Bogens \(AB\) einer sphärischen Kurve \(T\) (die Differenz zwischen den Winkeln, die eine längs \(T\) transportierte Richtung in \(A\) und \(B\) mit \(T\) bildet) abgesehen vom Vorzeichen übereinstimmt mit dem Winkel zwischen den beiden Schmiegebenen in den Endpunkten eines sphärischen Bogens \(C\), dessen sphärisches Bild \(T\) ist (vgl. auch \textit{F. Sbrana}, 1934; F. d. M. \(60_{\text I}\), 614).