On the distribution of conjugate points on a closed geodesic. (Q2619554)

Auf einer analytischen Fläche wird eine geschlossene geodätische Linie betrachtet, die einmal umlaufen werde, wenn der Parameter \(t\) von \(0\) bis \(2\pi \) wächst. Ein gegebener Punkt \(t_0\) soll unendlich viele konjugierte Punkte \(t_n\) besitzen. Unabhängig von \(t_0\) existiert dann nach \textit{Poincaré} die ``Rotationszahl'' \[ \beta =\lim \limits _{n\to \infty }\frac {t_n}{n}. \] Für irrationale \(\beta \) liegen die konjugierten Punkte auf der geodätischen Linie überall dircht. Verf. definiert nun eine Verteilungsfunktion \(\Delta (\tau )\) der konjugierten Punkte so: \(N(n,\tau )\) sei die Anzahl der \(\operatorname {mod}2\pi \) reduzierten Werte in \(0<t<\tau \leq 2\pi \), \[ \Delta (\tau )=\lim \limits _{n\to \infty }\frac {N(n,\tau )}{n}. \] Es wird bewiesen, daß bei irrationalem \(\beta \) \(\Delta (\tau )\) eine analytische Funktion von \(\tau \) ist. Es ergibt sich durch Betrachtung von Verteilungsfunktionen für die Lösungen eines Differentialgleichungssytems erster Ordnung auf dem Torus die folgende Darstellung von \(\Delta (\tau )\): \[ \frac {\displaystyle \int \limits _0^\tau \dfrac {dy}{u_1(y)^2+u_2(y)^2}} {\displaystyle \int \limits _0^{2\pi }\dfrac {dy}{u_1(y)^2+u_2(y)^2} }, \] wo \(u_1(y)\), \(u_2(y)\) zwei passend gewählte Lösungen der zu der geodätischen Linie gehörigen \textit{Jacobi}schen Gleichung sind. Die Methode läßt sich auf die allgemeine lineare Differetialgleichung mit periodischen Koeffizienten verallgemeinern.