Equilateral osculating quadrics of ruled surfaces. (Q2619571)

Wird eine Regelfläche durch die Gleichungen \[ x=p(v)+l(v)u,\quad y=q+mu,\quad z=r+nu \] definiert, so ergibt sich als Bedingung dafür, daß die oskulierende Quadrik gleichseitig ist: \[ \Sigma p''l'=\Sigma p'l''+2\Sigma lp'(\Sigma ll''-{\Sigma l'}^2)=0 \] Die Gleichseitigkeit der oskulierenden Quadrik der von den Flächennormalen längs einer Kurve erzeugten Regelfläche wird durch das Verschwinden der \textit{Laguerre}schen Funktion \[ \frac {d}{ds}\Bigl (\frac 1{R}\Bigr )+\frac 2{\tau }\cdot \frac 1{\gamma } \] längs dieser Kurve ausgedrückt. Dabei sind \(R\), \(\tau \), \(\gamma \) die Radien der Normalkrümmung, der geodätischen Torsion und Krümmung. Es folgen einige Anwendungen dieser Sätze.