The problem of differential invariants. (Q2619582)

Nachdem Verf. gelegentlich die mit den Integralkurven eines Systems vom Typus \[ \ddot x^i +\alpha ^i(x,\dot x,t)=0 \] verknüpfte Bahnkurvengeometrie untersucht hatte (vgl. \textit{D. D. Kosambi}, 1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1350), wird jetzt beabsichtigt, das vollständige System aller die Mannigfaltigkeit charakterisierenden Tensoren bzw. Differentialinvarianten aufzustellen. Dazu empfiehlt sich eine auf \textit{E. Cartan} zurückgehende Methode, worin von vornherein im \((2n+1)\)-dimensionalen Raum der \(x\), \(\dot x\), \(t\) gearbeitet wird unter Verwendung der \textit{Pfaff}schen Form \[ \omega ^i_d\equiv dx^i-\dot x^idt\neq 0 \] sowie der Differentialformen \[ D(u)^i=du^i+\gamma _r^iu^r+\gamma ^i_{kr}u^r\omega _d^k,\quad D\omega _d^i-\Delta \omega _d^i. \] Eine erste Reihe von Differnetialvarianten ergibt sich als Koeffizienten des Ausdruckes \(\Theta _\delta ^i-\Delta _d^i\), worin \[ \Theta _d^i=d\dot x^i+\alpha ^idt +\gamma _r^i\omega _d^r, \] eine weitere ebenso aus \((D\Delta -\Delta D)u^i\).