Nouvelles recherches sur les systèmes dynamiques. (Q2619686)

Die vorliegende Arbeit enthält eine Untersuchung der qualitativen Eigenschaften gewisser Typen von dynamischen Systemen. Zum Teil fußend auf den früheren Beiträgen des Verf. zu diesem Gegenstand, werden diese Untersuchungen hier viel weiter getrieben und zu einer tiefdringenden und erschöpfenden Analyse der in Betracht gezogenen Fälle abgerundet. Wir geben einen knappen Überblick über die Resultate. Jedem dynamischen System \(S\) entspricht ein System von Differentialgleichungen der Form \[ \frac {dx_i}{dt} = X_i (x_1, \dots, x_n) \quad (i=1, \dots, n), \] und die Untersuchung der Struktur von \(S\) bedeutet daher die Untersuchung der Gesamtheit der Trajektorien von (1). Die vorliegende Arbeit ist vorwiegend dem Fall gewidmet, in dem \(n=3\) und in dem das System (1) eine Integralinvariante und eine Schnittfläche von einem gewissen Typus besitzt. Diese Bedingungen sind z. B. in dem Fall des restringierten Dreikörperproblems erfüllt. In einer vorläufigen Diskussion wird gezeigt, wie die Variationsgleichung \[ \delta \int _{t_0}^{t_1} \left ( \sum _{i=1}^4 A_i dx_i + Bdt \right ) = 0, \] die in gewissen dynamischen Problemen auftritt, und die einem gewissen \textit{Pfaff}schen System äquivalent ist, auf ein System (1) (mit \(n=3\)) zurückgeführt werden kann, das eine Integralinvariante besitzt. Nun wird dem System (1) eine Flächentransformation \(T\) zugeordnet mittels einer regulären Schnittfläche. das ist eine Fläche \(\sigma \), die von einer oder mehreren geschlossenen Trajektorien von (1) berandet wird, und die mindestens einmal von jeder von den Randtrajektorien verschiedenen Trajektorie in jedem Zeitintervall \(\tau \) durchsetzt wird, wobei \(\tau \) hinreichend groß aber fest ist. Die Transformation \(T\) von \(\sigma \) in sich selbst wird erhalten, indem man \(T(P)\) definiert als den ersten Punkt, in dem die Trajektorie durch \(P_{\sigma }\) trifft. Offenbar ist die Struktur von \(\tau \) charakteristisch für die von (1). - In einem gegebenen System (1) kann eine reguläre Schnittfläche existieren oder nicht. Eine norwendige Bedingung für die Existenz einer solchen Fläche wird mittels eines umfassenderen Typs von Flächen gegeben, der sogenannten offenen Schnittflächen. Flächen von diesem Typus existieren für jedes System (1) \((n=3)\). \(O\) sei ein Fixpunkt von \(T\); \(T\) sei analytisch und werde in der Nachbarschaft von \(O\) durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} u_1 & = au + bv + \dots, \\ v_1 & cu + dv + \dots \end{aligned} \] dargestellt. Da das System (1) eine Integralinvariante besitzt, so gilt dasselbe für \(T\), und es folgt leicht, daß \(ad-bc=1\). Der Fixpunkt \(O\) ist entweder hyperbolisch oder elliptisch, je nach den Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Determinante \(ad-bc\). Wenn \(O\) hyperbolisch ist, so gehen durch \(O\) eine Anzahl invarianter Kurven; außerdem kann dann \(O\) nicht stabil sein, d. h. \(O\) kann nicht beliebig kleine invariante Umgebungen besitzen. Wenn der Punkt \(O\) elliptisch ist, so muß er stabil sein, oder wenigstens sehr annähernd stabil, in ganz bestimmtem Sinne. \(O\) sei nun elliptisch und stabil. Ist dann eine Umgebung \(V\) von \(O\) gegeben, so existieren Kontinua \(\Sigma _{\omega }\) und \(\Sigma _{\alpha }\), die \(O\) mit dem Rande von \(V\) verbinden und die ganz aus \(\omega \)- bzw. \(\alpha \)-Punkten bestehen, wo mit einem \(\omega \)- (bzw. \(\alpha \)-) Punkt eine Punkt gemeint ist, dessen Bilder bei sukzessiven Potenzen \(T\) (bzw. \(T^{-1}\)) gegen \(O\) konvergieren. \(\Sigma _{\alpha }\) und \(\Sigma _{\omega }\) winden sich in verschiedenen Richtungen unendlich oft um \(O\) und bilden so eine Art Netz in der Umgebung von \(O\). Verf. untersucht ziemlich ins einzelne gehend die topologische Struktur dieser Mengen \(\Sigma _{\alpha }\), \(\Sigma _{\omega }\) und ihr Verhalten gegenüber \(T\). Die Resultate gelten für den ``allgemeinen Fall'' (d. h. für den, in dem eine gewisse quadratische Form definit ist), vorausgesetzt, daß \(O\) nicht einem besonders entarteten Typus angehört. Wenn \(O\) elliptisch ist, so existieren in unmittelbarer Umgebung von \(O\) unendlich viele periodische Punkte. Dieses Resultat hängt ab von der Existenz von gewissen Typen von normalen Polarkoordinaten und gilt nicht nur im allgemeinen Fall, sondern in jedem Fall, in dem \(O\) nicht ausgeartet ist. Eine Untersuchung der periodischen Punkte, die nahe bei \(O\) liegen, zeigt, daß einige von ihnen elliptisch sein müssen, und es folgt, daß mit gewissen Ausnahmen die Gesamtheit von elliptischen periodischen Punkten in sich dicht ist. Nun sei \(O\) hyperbolisch. Im allgemeinen Fall gibt es zwei invariante Kurven durch \(O\), von denen eine aus \(\omega \)-Punkten besteht, die andere aus \(\alpha \)-Punkten. Ferner existiert ein \((u,v)\)-Koordinatensystem, dessen Achsen die invarianten Kurven sind, und zwar so, daß das Gebiet \(uv \neq 0\) in der Umgebung von \(O\) von vier Familien invarianter Kurven bedeckt ist. Diese Kurven sind von einem beliebig hohen Regularitätsgrad und ferner approximieren sie die Kurven \(uv=\)cost beliebig gut. Ähnliche Resultate gelten auch in den nicht-allgemeinen Fällen. Die Existenz der Familien invarianter Kurven ist früher vom Verf. vermutet worden (1926; F. d. M. 52, 573 (JFM 52.0573.*)), wird aber hier zum ersten Male bewiesen. Jede invariante Kurve durch den Punkt \(O\) (wenn dieser als hyperbolisch vorausgesetzt wird) wird von \(O\) in einen \(\alpha \)- und in einen \(\omega \)-Zweig zerlegt. Angenommen, ein \(\alpha \)-Zweig schneide einen angrenzenden \(\omega \)-Zweig in einem (homoklin genannten) Punkt \(Q\). Dann kann eine Kurve \(C\) in einer der Familien invarianter Kurven gewählt werden, die so dicht bei diesen zwei sich schneidenden Zweigen liegt, daß sie mit ihnen einen schmalen Streifen \(\beta \) bildet, der sich selbst in einem kleinen Viereck \(\varrho \) schneidet, an dem \(Q\) eine Ecke ist. Es wird gezeigt, daß \(\varrho \) unendlich viele periodische Punkte enthält, die sich in \(Q\) häufen. Diese Sachlage wird sorgfältig untersucht, und es ergibt sich dabei z. B., daß in \(\varrho \) wenigstens ein Punkt \(P\) existiert, der bei wiederholter Anwendung von \(T\) (oder \(t^{-1}\)) niemals aus dem Streifen \(\beta \) herausstritt, und der nach \(m\)-maliger Anwendung von \(T\), nach \(l\)-maliger weiterer Anwendung usw. wieder nach \(\varrho \) fällt, ebenso nach \(m'\)-maliger Anwendung von \(T^{-1}\), nach \(l'\)-maliger weiterer Anwendung usw. So kann man \(P\) ein zweifach unendliches Symbol \([\dots plmm'l'p' \dots ]\) zuordnen. Die Existenz derartiger Punkte \(P\) zeigt die große Manniglatigkeit von Rückkehrenscheinungen, die man in jedem System findet, das wenigstens einen homoklinen Punkt besitzt. Die Schlußweise, die zu den eben genannten Resultaten führt, ist z. T. analytisch, z. T. topologisch, und es werden ausführliche Hinweise auf eine frühere Arbeit des Verf. gemacht (1920; F. d. M. 47, 985 (JFM 47.0985.*)), in der die analytischen Grundlagen der Iterationstheorie von Flächentransformationen ausführliche entwickelt worden sind. Verf. untersucht nun die Struktur von Systemen (1) unter den folgenden Voraussetzungen: (A) Es existiert eine reguläre Schnittfläche \(\sigma \); (B) die zugeordnete Transformation \(T\) von \(\sigma \) ist regional transitiv; (C) \(T\) besitzt wenigstens einen periodischen Punkt, aber keinen elliptischen Punkt von entartetem Typus. Unter diesen Voraussetzungen besitzt \(T\) unendlich viele hyperbolische Punkte, und wenn \(T\) einen einzigen elliptischen periodischen Punkt besitzt, so besitzt sie deren unendlich viele. \(P\) sei ein periodischer Punkt. Ersetzt man \(T\) durch eine passende Potenz \(T^k\), so kann man annehmen, daß \(P\) ein Fixpunkt ist. Zu \(P\) assoziiert sind gewisse invariante ``asymptotische Mengen'' \(E_{\omega }\), \(E_{\alpha }\). Wenn \(P\) hyperbolisch ist, so sind die Mengen \(E_{\omega }\) \((E_{\alpha })\) gerade die \(\omega \)- \((\alpha )\)-Zweige, die in \(P\) enden, jeder im ganzen genommen. Wenn \(P\) elliptisch ist, so werden die asymptotischen Mengen durch die oben erwähnten Mengen \(\Sigma _{\alpha }\), \(\Sigma _{\alpha }\) definiert. Eine asymptotische Menge kann einfach aus einem Bogen bestehen, der zwei hyperbolische Punkte verbindet und ein \(\alpha \)-Zweig des einen, ein \(\omega \)-Zweig des anderen ist. Unter den Annahmen (A), (B), (C) is jede asymptotische Menge, die nicht von diesem speziellen Typ ist, überall dicht in \(\sigma \). Man betrachte insbesondere zwei aneinandergrenzende asymptotische Mengen \(E_{\alpha }\) und \(E_{\omega }\), die zu einem hyperbolischen Punkt \(P\) gehören. Mittels dieser Mengen wird \(\sigma \) in ein oberhalbstetiges System von punktfremden Kontinua \(\Sigma _Q\) \((Q \subset \Sigma _Q)\) zelegt, die durch die Transformation \(T\) untereinander vertauscht werden. Das System \(\{ \Sigma _Q\}\) ist unabhänging von der speziellen Wahl des hyperbolischen Punktes \(P\). Die Gesamtheit periodischer Punkte ist über dicht bezüglich der Mengen \(\Sigma _Q\). Im besonderen ist, wenn \(\Sigma _Q=Q\) für alle \(Q\), die Menge der periodischen Punkte übeall dicht im gewöhnlichen Sinne. Ferner haben die Mengen \(\Sigma _Q\) verschiedene interessante Rückkehreigenschaften, die im einzelnen untersucht werden. Man nehme endlich \(\Sigma _Q =Q\) an für alle \(Q\); dann ist \(T\) topologisch vollständig bestimmt durch ihre Wirkung auf die Mengen \(E_{\alpha }\), \(E_{\omega }\), die zu dem hyprbolischen Punkt \(P\) gehören. Ferner kann die Wirkung von \(T\) auf diese Mengen, also die ganze Struktur von \(T\), durch ein unendliches System von Diagrammen charakterisiert werden, deren jedes aus einem Paar einfach geschlossener Kurven besteht, die einander derart schneiden, daß die die Struktur eines gewissen Teiles der Menge \(E_{\alpha } + E_{\omega }\) und sein Verhalten gegenüber \(T\) anzeigen.